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CHUTE D'UN OBJET SANS VITESSE

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Chute d'un objet sans vitesse - Étape 4 : Les coordonnées du vecteur position

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Étape 4 : les coordonnées du vecteur position

 

Ayant déterminé précédemment la vitesse de la balle, on souhaite à présent connaitre sa position à chaque instant.

 

Il faut maintenant déterminer les coordonnées du vecteur position $\overrightarrow{OG}$, avec $O$ l’origine du repère et $G$ le centre de la balle à chaque instant, défini par $\overrightarrow{v} = \dfrac{\text{d}\overrightarrow{OG}}{\text{dt}}$, soit en d’autres termes le vecteur vitesse est la dérivée par rapport au temps du vecteur position.

 

Pour se faire, il faut trouver des primitives des coordonnées du vecteur vitesse. Une primitive de $v_x$ est une fonction qui une fois dérivée vaut 0 : c’est une constante notée $C_3$.

De même, une primitive de $v_y$ est $-\dfrac{1}{2} \times gt^2 + C_4$. En effet, si on dérive cette expression, on obtient alors $-\dfrac{1}{2} \times 2 \times gt + 0 = -gt $.

Les coordonnées de $\overrightarrow{OG}$ sont donc $ \left\{
\begin{array}{ccc}
x & = & C_3 \\
y & = & -\dfrac{1}{2} \times gt^2 + C_4 \\
\end{array}
\right.$

 

 

Pour trouver la valeur des constantes, on utilise à nouveau les conditions initiales.

Ainsi, à $t = 0$, d’après le schéma, on trouve $x(t = 0) = 0$ et $y(t = 0) = h$.

Or, on dispose également des coordonnées de $\overrightarrow{OG}$ pour tout temps $t$, en particulier pour $t = 0$. En remplaçant $t$ par 0 on obtient :

$ \left\{
\begin{array}{ccccc}
x & = & C_3 & = & 0 \\
y & = & -\dfrac{1}{2} \times g \times 0^2 + C_4 = C_4 &=& h \\
\end{array}
\right.$

On raisonne par identification pour trouver la valeur des constantes et on peut remarquer que l’on retrouve bien qu’à $t = 0$, on a lâché la balle d’une hauteur $h$.

 

Ayant déterminé les constantes $C_3$ et $C_4$, il est possible maintenant de trouver le vecteur position pour tout instant $t$ :

$\overrightarrow{OG} \left\{
\begin{array}{ccc}
x & = & 0 \\
y & = & -\dfrac{1}{2} \times gt^2 + h \\
\end{array}
\right.$

Ce système s’appelle les équations horaires de la balle car elles dépendent du temps et définissent à chaque instant les coordonnées de la balle.