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MOUVEMENT D'UN SATELLITE AUTOUR D'UNE PLANÈTE

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Mouvement d'un satellite autour d'une planète - Étape 4 : La période de révolution

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Étape 4 : la période de révolution

 

On dispose, après calculs, de l’expression de la vitesse : $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$.

On souhaite déterminer la période de révolution $T$ du satellite, c’est-à-dire le temps qu’il met pour parcourir l’intégralité de son orbite autour de la planète.

 

Pour se faire, on sait que la vitesse est égale au rapport entre la distance parcourue et la durée nécessaire pour la parcourir ou encore $v = \dfrac{d}{\Delta t}$.

 

La distance parcourue correspond à la circonférence du cercle sur lequel se trouve le satellite alors que la durée correspond par définition à la période de révolution.

Ainsi, on peut réécrire la formule précédente : $v = \dfrac{2\pi r}{T}$.

 

On peut à présent utiliser l’expression de la vitesse obtenue après calculs pour parvenir à l’égalité suivante :

$ \sqrt{\dfrac{GM}{r}} = \dfrac{2\pi r}{T} $ que l’on peut élever au carré pour se débarrasser de la racine : $ \dfrac{GM}{r} = \dfrac{4 \pi ^2 r^2}{T^2}$ puis on isole la période de révolution : $T^2 = \dfrac{4 \pi^2 r^3}{GM}$.

La distance entre les deux centres dépendant du satellite, on regroupe alors les termes propres au satellite et les termes constants ($G$, $M$, $4 \pi^2$) : $\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4 \pi^2}{GM}$, où $T$ est en seconde, $r$ en mètre et $M$ en kilogramme.

On vient de démontrer la troisième loi de Kepler, stipulant que le rapport entre le carré de la période de révolution d’une satellite par le cube de la distance entre les centres du satellite et de la planète est une constante. Ainsi, si la planète possède plusieurs satellites sur des orbites différents ayant ainsi des périodes de révolution différentes, le rapport précédent sera toujours constant, pour n’importe quel satellite. On pourrait donc calculer la masse de la planète ou la période de révolution d’un autre satellite.

 

L'étude menée précédemment peut se généraliser à l’étude du mouvement de tout corps orbitant autour d’un autre, en particulier à celle des planètes autour du Soleil.

L’étude consistera tout d’abord à montrer que le mouvement est uniforme dans l’approximation circulaire, de trouver l’expression de la vitesse puis celle de la période de révolution.