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STAGE - CHUTE D'UN OBJET SANS VITESSE

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Chute d'un objet sans vitesse - Étape 2 : Les coordonnées du vecteur accélération

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Étape 2 : les coordonnées du vecteur accélération

 

On souhaite suivre le mouvement de la balle, lâchée sans vitesse initiale, au cours du temps.

On a établi précédemment, grâce à la deuxième loi de Newton, que $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{g}$.

 

On peut décomposer le vecteur accélération en donnant ses coordonnées. On a donc $\overrightarrow{a} \left ( \begin{array}{c} a_x \\ a_y \\ \end{array} \right ) $.

De même, on retrouve facilement les coordonnées du vecteur champ de pesanteur : $\overrightarrow{g} \left ( \begin{array}{c} 0 \\ -g \\ \end{array} \right ) $, avec $g = 9,81 \text{m.s}^{-2}$, car on a choisi un axe $Oy$ ascendant.

 

Si deux vecteurs sont égaux, alors leurs coordonnées sont égales deux à deux :

$ \left\{
\begin{array}{ccc}
a_x & = & 0 \\
a_y & = & -g \\
\end{array}
\right.$

On a trouvé les coordonnées du vecteurs accélération quel que soit le temps.

 

Pour déterminer le vecteur vitesse, il faut se remémorer le lien entre accélération et vitesse :

$\overrightarrow{a} = \dfrac{\text{d}\overrightarrow{v}}{\text{dt}}$. Les coordonnées du vecteur vitesse doivent être égales, une fois dérivés, aux coordonnées du vecteur accélération ; on doit donc trouver des primitives des coordonnées du vecteur accélération.

 

Ainsi, la première coordonnée du vecteur vitesse, $v_x$, doit être égale, après dérivation, à $0$ : c’est une constante notée $C_1$.

De même, la deuxième composante du vecteur vitesse, $v_y$, doit être égale, après dérivation par rapport au temps , à $-g$, ainsi $v_y = -g \times t + C_2$. Lorsque l’on trouve une primitive, il ne faut pas oublier d’ajouter une constante, car la dérivée d’une constante vaut $0.$

 

A partir des conditions initiales, il sera possible de déterminer la valeur des constantes.