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RÉFÉRENTIEL GALILÉEN ET DEUXIÈME LOI DE NEWTON

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La deuxième loi de Newton

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Cette deuxième loi de Newton est le point de départ pour résoudre un problème de mécanique : par exemple lorsqu’il s’agit de trouver la trajectoire d’un mobile en considérant les forces qu’il subit.

 

I. La deuxième loi de Newton

 

Il faut être dans un référentiel galiléen pour pouvoir l’utiliser. Il faut donc le préciser au début.

La loi dit que : $\sum_{\overrightarrow{F}_{ext}} = \dfrac{d\overrightarrow{p}}{dt}$.

$\overrightarrow{p}$ est la quantité de mouvement et vaut $\overrightarrow{p} = m\times \overrightarrow{v_G}$.

La masse du système est en kilogrammes, la vitesse du centre de masse du système est en $m.s^{-1}$ et la somme des forces extérieures qui s’appliquent est en Newton. Il existe deux cas particuliers :

- Si la masse est constante : c’est le cas de la plupart des cas. En effet, une balle possède toujours la même masse. Par contre, la fusée est un objet dont la masse varie car elle décolle avec des réserves pour sa propulsion et les réserves sont brûlées et éjectées sous forme de gaz. La masse de la fusée varie donc au cours du temps. Dans ce cas, si la masse est une constante elle sort de la dérivée et on a juste la dérivée de la vitesse.

$\sum_{\overrightarrow{F}_{ext}} = m\times \dfrac{d\overrightarrow{v}}{dt} = m\times \overrightarrow{a_G}$.

- Si le système est juste un point : dans ce cas, le centre de masse est ce point.

On a alors : $\sum_{\overrightarrow{F}_{ext}} = m\times \dfrac{d\overrightarrow{v}}{dt} = m\times \overrightarrow{a}$.

 

II. Centre de masse

 

Le centre de masse est le barycentre des masses. C’est le point d’équilibre des masses.

Attention ! Si le champ de pesanteur est uniforme, c’est aussi le centre de gravité. Si le champ de pesanteur n’est pas uniforme, le centre de masse est le centre de la masse mais le centre de gravité est le centre du poids et donc ne sera pas identique. Dans les exercices cette année, le champ de pesanteur sera uniforme.

Le centre de masse est aussi le centre inertiel ou centre d’inertie. On le note $G$ est on a : $m_{tot} \times \overrightarrow{OG} = \sum_i {m_i} \times \overrightarrow{OM_i}$.

$O$ étant le centre d’un repère, $G$ le centre de masse et $m_i$ la masse du $ième$ point et $\overrightarrow{OM_i}$ la position de ce $ième$ point qui constitue le système.

Exemple simple : un système composé de deux points $M1$ et $M2.$ Dans la somme précédente, $i$ vaut $1$ puis $2.$ On place un point $O$ centre d’un repère et on applique la formule.  

On a : $\sum {m} \times \overrightarrow{OG} = m\overrightarrow{OM1} + m\overrightarrow{OM2}$. $\sum {m( \overrightarrow{OM1}+\overrightarrow{M1G})} = m\overrightarrow{OM1} + m\overrightarrow{OM2}$. $\sum{\overrightarrow{M1G}} = -m\overrightarrow{OM1}+m\overrightarrow{OM2} = m\overrightarrow{M1M2}$. $\overrightarrow{M1G} = \dfrac{\overrightarrow{M1M2}}{2}$.

A titre d’entrainement, on peut poser un point $M1$ de masse $2m$ à droite d’une barre et à gauche un point $M2 $de masse $m.$ On peut ensuite montrer que le point $G$ est à un tiers de la distance $M1M2.$ 

 

III. Exemple

 

A. La chute libre

Notre système est une balle de centre $M$ sur un repère $(O ;x ;y).$ Le mouvement est plan donc on n’a pas besoin d’axe $z.$

$\overrightarrow{g}$ est le vecteur de pesanteur, qui est vers le bas. Que vaut $\overrightarrow{a}$ ?

Dans un référentiel galiléen, $\sum_{F_{ext}} = m\times \overrightarrow{a(M)}$. $M$ est le centre de la balle donc le centre de masse.

On va d’abord faire le bilan des forces : on a le poids et la force de frottement de l’air (comme la balle est en train de tomber) que l’on va négliger. Donc on a $\sum_{F_{ext}} = \overrightarrow{P} = m\times \overrightarrow{g} = m\times \overrightarrow{a(M)}$.

On peut simplifier les masses qui sont les mêmes et on a alors : $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{g}$. Le vecteur accélération est placé en $ax$ et $ay.$ Et le vecteur de pesanteur est purement vertical donc a pour coordonnées en abscisses $0$ et en ordonnées $-g$ (avec $g = 9,81 m.s^{-2}$ à Paris).

Une fois qu’on a l’accélération, on peut avoir la vitesse et la position. On peut déterminer la trajectoire de cette balle qui va tomber. La vitesse est la primitive de l’accélération car l’accélération est la dérivée de la vitesse. De même on peut trouver la position en ayant la primitive de la vitesse.

 

B. Un bateau

On suppose que le mouvement est rectiligne uniforme. Que valent les forces qui s’exercent sur ce bateau ?

On a un bateau à voiles qui navigue sur l’eau à l’horizontale. Le poids s’applique sur le centre de gravité, vers le bas. Il y a aussi la poussée d’Archimède, vers le haut. La force de traction s’applique vers la droite au niveau des voiles. L’eau exerce un frottement sur la coque du bateau et se trouve vers la gauche.

Si la vitesse est constante, l’accélération qui est la dérivée de la vitesse vaut zéro. Dans le référentiel galiléen, on a dit que $\sum_{\overrightarrow{F_{ext}}} = m\overrightarrow{a}$.

D’où $\sum_{\overrightarrow{F_{ext}}} = \overrightarrow{0}$.

Donc, la poussée d’Archimède est compensée par le poids (même sens). Les forces de traction et de frottements se compensent également. Cela nous rappelle le principe d’inertie ! Le principe d’inertie est un cas particulier de la deuxième loi de Newton.