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SYSTÈME DANS UN CHAMP ÉLECTRIQUE, ACCÉLÉRATEUR LINÉAIRE DE PARTICULES

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Système dans un champ électrique

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L’objectif est de trouver l’équation de la trajectoire de ce système. Le système mécanique est une particule de charge $q$ et de masse $m.$ Si la particule n’a pas de charge, elle ne subira pas de champ électrique.

Exemple d'un champ électrique vers le bas. Pour les vecteurs unitaires, la norme du vecteur vaut 1. A t =0, la particule est à une altitude $h$ et une vitesse $v0$ selon l’axe $x.$

$\overrightarrow{E} = -E e\overrightarrow{y}$.

Le terme $-E$ correspond à la projection du vecteur $E$ sur $\overrightarrow{y}$. Ici, on est dans le cas où l’on suppose que $E$ est positif.

 

I. Deuxième loi de Newton

 

On suppose qu’on se trouve dans un référentiel galiléen. La somme des forces vaut la masse multipliée par l’accélération : $\overrightarrow{P} + \overrightarrow{F_e} = m \times \overrightarrow{a}$.

On a donc le poids et la force électrique. On néglige le poids et on obtient : $\overrightarrow{F_e} = m \times \overrightarrow{a}$.

Parfois, on doit le démontrer et parfois on le pose comme une hypothèse.

 

II. Projection et intégrations

 

On projette l’équation vectorielle précédente sur ($\overrightarrow{u_x}$ ; $\overrightarrow{u_y}$) : la force électrique est vers le bas puisqu’elle est égale à la charge multipliée par le champ électrique. Elle est colinéaire à $E$ donc la projection sur l’axe horizontale vaut 0.

De plus, la projection de l’accélération sur l’axe horizontal est appelée $a_x.$ Par définition, l’accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps donc $a_x =\dfrac{dv_x}{dt}$.

On projette maintenant sur l’axe vertical : la force électrique est égale à $q\times E$. La projection du champ électrique vaut $-E,$ donc on a : $-q\times E$.

La projection de l’accélération sur l’axe vertical est $a_y.$ $a_y = \dfrac{dv_y}{dt}$.

On intègre ensuite par rapport au temps : $cte = m\times v_x$. La primitive de la dérivée d’une fonction est égale à la fonction.

On intègre la deuxième ligne : $-qE\times t + cte’ = m \times v_y$. Il reste toujours une constante quand on intègre.

Pour déterminer les constantes, on utilise les conditions initiales. A t = 0 : $v_x = v_0$ et $v_y = 0$.

Or : $v_x = \dfrac{cte}{m}$ et $v_y = \dfrac{-qEt+cte}{m}$.

D’où, comme t = 0 : $cte = m\times v_0$ et $cte’ = 0$.

On intègre de nouveau par rapport au temps, on a alors : $mv_0t + cte = mx$.

Pour la deuxième équation, on a : $-\dfrac{1}{2}qEt^2+cte’ = my$.

La nouvelle constante prime est apparue suite à la deuxième intégration. La première constante prime est égale à 0. A t = 0, x = 0 et y = h. Donc la constante vaut 0 et la constante prime vaut $m$ multiplié par $h.$

Donc, les équations horaires sont $x = v_0t$ (2) et $y = h -\dfrac{qEt^2}{2m}$(3).

On dit équations horaires car $x$ et $y$ dépendent du temps.

On va isoler $t$ dans l’équation (2). On obtient $t = \dfrac{x}{v_0}$, qu’on va injecter dans (3). On substitue $t$ par sa valeur trouvée. On obtient alors : $y = h - \dfrac{qE}{2mv_0^2}\times x^2$.

On a alors l’équation de la trajectoire. Cela correspond à une équation polynomiale du second degré. Cela ressemble à une parabole (vu en mathématiques). La parabole peut monter ou descendre : cela va dépendre du signe de la fraction devant le x2. Lorsque x = 0, y = h. La parabole va monter quand le champ est vers le haut et descendre lorsqu’il est vers le bas. La direction du champ changera le signe de $E.$ On a défini au début que le champ $E $est positif lorsqu’il est dirigé vers le bas.