Terminale Scientifique > Mathématiques > Fonctions trigonométriques > L'incontournable du chapitre

L'INCONTOURNABLE DU CHAPITRE

Exercice - Étude d'une fonction trigonométrique - bac



L'énoncé

Dans tout cet exercice, on considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(t) = \sin^2(t)\).  On note \(C_f\) sa courbe représentative.


  • Question 1

    Partie A : étude de la fonction \(f\).
    Justifier que la fonction \(f\) est périodique de période \(\pi\).
    En déduire que l'on peut mener l'étude de \(f\) sur l'intervalle \(\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]\).

  • Question 2

    La fonction \(f\) est-elle paire, impaire ? Justifier la réponse.

  • Question 3

    À quel intervalle peut-on alors restreindre l'étude la fonction \(f\) ?

  • Question 4

    Justifier que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et calculer \(f'(t)\).

  • Question 5

    Etudier le signe de \(f'(t)\) sur l'intervalle \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\).

  • Question 6

    En déduire le tableau de variations de \(f\) sur \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\).

  • Question 7

    Partie B : construction de la courbe représentative.
    Dans toute cette question, on s'intéresse à la construction de la courbe de \(f\) :
    Compléter le tableau de valeurs suivant :

    $t$ $0$ $\dfrac{\pi}{6}$ $\dfrac{\pi}{4}$ $\dfrac{\pi}{3}$ $\dfrac{\pi}{2}$
    $f(t)=\sin^2(t)$          



  • Question 8

    En déduire la courbe représentative de \(f\) sur \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\).

  • Question 9

    En utilisant les propriétés de la courbe vues aux questions 1 et 2, construire en justifiant la courbe de \(f\) sur \(\mathbb{R}\)

  • Question 10

    Partie C : Un calcul d'aire.
    Restitution organisée de connaissances :
    On admet dans cette question que, quelque soit le réel \(t\) on a : \(\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t)\)

    Démontrer alors que pour tout réel \(t\), on a \(\cos(2t)=1-2\sin^2(t)\)

  • Question 11

    En déduire \(\sin^2(t)\) en fonction de \(\cos(2t)\).

  • Question 12

    En déduire la valeur de l'intégrale \(I= \displaystyle\int_{0}^{\pi} f(t)dt\)

  • Question 13

    Déterminer l'aire $A$, en cm\(^2\), du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses, et les droites d'équation \(x = 0\) et \(x=\pi\).

La correction et les astuces de cet exercice t'intéressent ?

Accède librement à l'ensemble des contenus, aux astuces et aux corrections des exercices en t'abonnant sur Les Bons Profs. Clique ici pour démarrer l'abonnement.