Terminale Scientifique > Physique-Chimie > Comprendre : Temps, mouvement et évolution > Stage - Mouvement d'un satellite autour d'une planète

STAGE - MOUVEMENT D'UN SATELLITE AUTOUR D'UNE PLANÈTE

Exercice d'application


Comprendre : Temps, mouvement et évolution

  • Exercice : Oscillations libres d'un système mécanique

    Le commentaire du professeur :

    Cet exercice de physique va te permettre de faire une étude très complète de pendules oscillants. Tu vas ainsi progresser à travers différentes phases d’étude en commençant par le pendule idéal périodique, en passant par le pendule amortis pour arriver au pendule subissant l’influence du mouvement de la Terre illustré par la célèbre expérience de Foucault. 
Pour le réussir, tu dois bien réviser l’étude théorique du pendule idéal du point de vue de la mécanique de Newton mais aussi les conditions d’amortissement des oscillations et les transferts d’énergies qui leur sont liés. Revois aussi les limites de la mécanique Newtonienne. 
Cet exercice est difficile car il augmente la complexité de la situation progressivement en abordant des notions très variées. Fais attention à bien suivre les indications de chaque question ainsi que celles de l’énoncé d’une façon générale. Essais de prendre du recul à chaque fois pour mieux appréhender la situation étudiée ; appuie-toi sur des schémas.

     

    Comment montrer que la Terre tourne ?


    Depuis 1996, au Panthéon à Paris, on peut observer la reconstitution de l’expérience menée par Léon Foucault en 1851. Celle-ci avait permis de confirmer, sans observation du ciel, la rotation de la Terre sur elle-même. Une sphère en plomb, de $20$ cm de diamètre, de masse $47$ kg, est suspendue sous le dôme de l’édifice par un fil en acier très fin d’une longueur de $67$ m. Le pendule ainsi constitué oscille librement. On constate qu’au cours de la journée le plan d’oscillation tourne lentement dans le sens des aiguilles d’une montre autour d’un axe vertical.

    Dans tout l’exercice, les amplitudes angulaires $\theta_{max}$ des oscillations sont inférieures à $10°$, soit $0,17 rad$. On considère qu’on est dans le cadre des petites oscillations.

     

    Données :

    La valeur $g$ du champ de pesanteur en un point à la surface de la Terre dépend de la latitude $lambda$ du lieu, elle ne dépend pas de sa longitude.


    Valeur du champ de pesanteur à Paris : $g_{Paris} = 9,8 m.s^{-2}$ ;

    Période de rotation de la Terre dans le référentiel géocentrique : $T_{Terre} = 24$h.

     

    Pendule simple

    On appelle pendule simple un système constitué d’un fil inextensible de longueur $L$, dont une extrémité est fixée à un support et l’autre attachée à un objet quasi ponctuel de masse $m$. La masse du fil est négligeable par rapport à la masse de l’objet.

    Un pendule simple, constitué d’une petite sphère assimilée à un point $B$, de masse $m = 50$g et d’un fil $AB$ de longueur $L = 2,0$ m, est écarté de sa position d’équilibre d’un angle $theta_0$ inférieur à $10°$ puis lâché sans vitesse initiale (voir figure ci-dessous).

    Le plan $(O,\vec{i},\vec{k})$ contient la verticale passant par le point de suspension $A$ et la position initiale $B_0$ du point.

    La position du point $B$ peut être repérée par l’abscisse angulaire $\theta = (\vec{AO},\vec{AB})$ ou par ses coordonnées $(x, z)$ dans le plan $(O,\vec{i},\vec{k})$.

    31da05efa37df08be8146451a88e96e797c9700f.png 

     

    1) Reproduire cette figure et représenter sans souci d’échelle les forces qui s’exercent sur la sphère $B$ pour un angle $theta$ quelconque.
Toutes les actions de l’air sont négligées.

     

    2) L’application de la deuxième loi de Newton dans le référentiel Terrestre, considéré en première approche comme galiléen permet de montrer que le mouvement s’effectue bien dans le plan $(xOz)$.

    a) Énoncer la deuxième loi de Newton sous la forme d’une phrase faisant intervenir l’accélération.


    b) Quels éléments permettent de justifier l’affirmation que le mouvement est plan ?

     

    3) Dans l’approximation des petites oscillations, l’application de la deuxième loi de Newton permet d’établir l’expression de $x(t)$.

    
On donne trois possibilités pour $x(t)$ dans lesquelles $K$ est une constante positive :

    a) $x(t) = K \cdot\sin \left( {\dfrac{2\pi}{T_0} \cdot t} \right)$

    b) $x(t) =-K \cdot\cos \left( {\dfrac{2\pi}{T_0} \cdot t} \right)$

    c)  $x(t) =K \cdot\cos\left( {\dfrac{2\pi}{T_0} \cdot t} \right)$

    Le pendule étant lâché sans vitesse initiale à $t = 0$ d’un angle correspondant à la figure, choisir l’expression qui vérifie les conditions initiales.

     

    4) On montre que la période propre du pendule simple a pour expression :

    $T_0 = 2\pi \cdot\sqrt{\dfrac{L}{g}}$

    Vérifier l’homogénéité de l’expression par une analyse dimensionnelle.

     

    5) À partir du XVIIIe siècle, les horloges à balancier furent très utilisées pour mesurer le temps. On considère, à Paris, une horloge dont le balancier a une longueur $L = 1,0$ m. Le balancier d’une telle horloge est un pendule aux oscillations entretenues et de faible amplitude que l’on peut modéliser par un pendule simple.


    Calculer la période propre du balancier de cette horloge.

     

    6) 
Pourquoi dit-on que cette horloge « bat la seconde » ?

     

    7) Que penser des indications données par cette horloge dans un lieu de latitude différente de celle de Paris ?

La correction et les astuces de cet exercice t'intéressent ?

Accède librement à l'ensemble des contenus, aux astuces et aux corrections des exercices en t'abonnant sur Les Bons Profs. Clique ici pour démarrer l'abonnement.