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STAGE - OPÉRATIONS SUR LES FRACTIONS

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Addition et soustraction de fractions

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Additions et soustractions de fractions 

 

Propriété

 

Afin d'additionner ou soustraire des fractions, il faut respecter trois étapes.

  • La première consiste à écrire les fractions avec le même dénominateur.
  • Ensuite, on ajoute ou on soustraie les numérateurs.
  • Et enfin, si possible, il est préférable de simplifier la fraction obtenue. 

Il s'agit du même principe lorsque l'on souhaite par exemple ajouter des longueurs qui ne sont pas dans la même unité.
Par exemple, si l'on souhaite ajouter 1m + 3cm, il faut convertir 1 m en centimètres.

Ainsi, 1m + 3cm = 100 cm + 3 cm = 103 cm. 

De la même manière, si on souhaite effectuer le calcul $1 + \dfrac{3}{100}$, il faut écrire $1$ sous la forme d'une fraction de dénominateur $100$ :

$1 = \dfrac{100}{100}$. 


Finalement, 

$1 + \dfrac{3}{100} = \dfrac{100}{100} + \dfrac{3}{100}$.

On garde ensuite le dénominateur commun puis on ajoute les numérateur.

$1 + \dfrac{3}{100} = \dfrac{100 + 3}{100} = \dfrac{103}{100}$. 

On remarque que pour effectuer ce calcul, on peut utiliser l'écriture décimale. En effet,

$1 + \dfrac{3}{100} = 1 + 0,03  = 1,03$. 

 

Exemples :

a) $A= \dfrac{2}{10} - \dfrac{5}{100}$

On remarque que $100 = 10 \times 10$. Ainsi, le dénominateur commun est $100$.

On multiplie donc la première fraction en haut et en bas par $10$ pour garder l'égalité et pour que le dénominateur soit égal à $100$.

$\begin{aligned} \dfrac{2}{10} - \dfrac{5}{100} &=& \dfrac{2\times 10}{10\times 10} - \dfrac{5}{100} \\ &=& \dfrac{20}{100 } - \dfrac{5}{100} \\ &=& \dfrac{20 - 5}{100 } \\ &=& \dfrac{15}{100 } \end{aligned}$


Enfin, on remarque qu'il est possible de simplifier la fraction.

$\begin{aligned} \dfrac{2}{10} - \dfrac{5}{100} &=& \dfrac{15}{100 }\\ &=&  \dfrac{5 \times 3}{5 \times 20 } \\ &=& \dfrac{3}{20 } \end{aligned}$.

 

b) $B= \dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{2}$

On remarque que $6 = 2 \times 3$. Le dénominateur commun est donc $6$.

On multiplie la seconde fraction en haut et en bas par $3$.

$\begin{aligned} \dfrac{5}{6} + \dfrac{3 \times 3}{2 \times 3} &=& \dfrac{5}{6} + \dfrac{9}{6}\\ &=& \dfrac{5 + 9}{6}  \\ &=&  \dfrac{14}{6} \\ &=&  \dfrac{2 \times 7}{2 \times 3} \\ &=&  \dfrac{7}{3} \end{aligned}$

 

c) $C=\dfrac{3}{2} - \dfrac{2}{5}$

Les deux fractions ne sont pas au même dénominateur, il s'agit donc de trouver un dénominateur commun.

La difficulté ici est que l'on ne trouve pas un entier qui multiplié par $2$ donne $5$.

Or, on peut remarquer que $10 = 5 \times 2$ Le dénominateur commun est donc $10$. 

$\begin{aligned} \dfrac{3}{2} - \dfrac{2}{5} &=& \dfrac{3\times 5}{2 \times 5} - \dfrac{2 \times 2}{5 \times 2} \\ &=& \dfrac{15}{10 } - \dfrac{4}{10} \\ &=& \dfrac{15 - 4}{10 } \\ &=& \dfrac{11}{10 } \end{aligned}$