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DÉVELOPPER ET FACTORISER : DOUBLE DISTRIBUTIVITÉ

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Développer et factoriser (a+b) (c+d)

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Développer et factoriser $(a + b)(c + d)$

 

I) Rappel

 

Pour ce chapitre, il est bon de se souvenir de la distributivité simple :

$k(a + b) = ka + kb$. 

Exemples : 

$3(x+5)=3x+15$

$-4(x-2)=-4x+8$

 

II) Développer

 

On chercher à développer $(a + b)(c + d)$, ce qui revient d'abord à développer $a$ avec $(c+d)$ puis développer $b$ avec $(c+d)$ .

Ainsi,

$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

 

Exemples : 

$(3 + x)(x + 2) = 3\times x + 3 \times 2 + x \times x + x \times 2 $

$(3 + x)(x + 2)= 3x + 6 +x^2 + 2x $

$(3 + x)(x + 2)= x^2 + 5x + 6 $

On pourra remarquer que le résultat est ordonné. C'est à dire que l'on commence par écrire les termes en $x^2$ puis les termes en $x$ puis les termes sans $x$, en aillant regrouper au préalable les termes. 

$A=(3 - x)(x - 5)$ 

Pour effectuer ce calcul, il faut se souvenir de la règles des signes.

$(3 - x)(x - 5) = 3\times x + 3 \times (-5) + (-x) \times x + (-x) \times (-5) $

$(3 - x)(x - 5) = 3x -15 - x^2 + 5x $

$(3 - x)(x - 5) = - x^2 + 8x - 15 $

 

III) Factoriser

 

factoriser une expression revient à l'écrire sous la forme d'un produit (le résultat d'une mutiplication).

Lorsque l'on reconnait un facteur commun dans une somme de termes, on peut le factoriser.

 

Exemples

$B=5(x + 2) + 7(x + 2)$

Le facteur commun est ici $(x + 2)$.

On met donc $(x +2)$ en facteur, en ne l'écrivant qu'une fois, puis dans le second facteur on recopie les facteur qui multipliait $(x + 2)$ ainsi que le signe entre les deux termes.

Ainsi,

$5(x + 2) + 7(x + 2) = (x + 2)( 5 + 7) $

$5(x + 2) + 7(x + 2) = 12(x + 2)$

 

$C=5(3 - x) - (3 - x)y = (3 -x)(5 - y)$.

L'erreur fréquente est ici d'oublier de recopier le signe $-$.