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STAGE - MISE EN ÉQUATION DE PROBLÈME

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Equations et problèmes

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Equations et problèmes

 

Méthode :

Pour résoudre un problème mathématique complexe, on peut parfois utiliser des équations.

Il y a trois étapes :

  • Le choix de l'inconnue : On donne un nom au nombre que l'on cherche. (On l'appelle souvent $x$)
  • La mise en équation : On traduit l'énoncé par une équation (Il faut réfléchir !)
  • La résolution et la conclusion : On trouve la valeur de $x$ (on n'oublie pas de finir par une phrase)

 

Exemple 1 :

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Soit un rectangle $ABCD$ de largeur $x + 1$ et de longueur $2x + 3$. 

On cherche $x$ pour que le périmètre du rectangle soit égal à 26. 

Il faut donc d'abord mettre en équation le problème et transformer ainsi la donnée du périmètre en une équation. 

 

Le périmètre étant égale à la somme des côtés ou bien à la somme du double de la largeur et du double de la longueur, on a ainsi :

$2(x + 1) + 2(2x + 3) = 26$, c'est la phase de mise en équation

 

On développe ensuite l'équation par distributivité :

$2x + 2 + 4x + 6 = 26$ puis on regroupe les termes identiques :

$6x + 8 = 26$.

C'est une équation de la forme $ax + b = c$.

Il faut donc commencer par les opérations addition-soustraction :

$6x + 8 - 8 = 26 - 8$, donc

$6x = 18$.

On divise enfin par 6 des deux côtés de l'égalité et on trouve

$x = 3$. 

On peut alors vérifier ce résultat : $2(3 + 1) + 2(2\times 3 + 3) = 2 \times 4 + 2 \times 9 = 26$. 

 

Exemple 2 : 

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Soit un triangle $ACE$ et une droite $(BD)$ parallèle à $(CE)$. 

On cherche à calculer $BC$. 

 

Les points $A, B, C$ d'une part et $A, D, E$ d'autre part sont alignés.

De plus, les droites $(BD)$ et $(CE)$ sont parallèles, d'après le théorème de Thalès, on peut écrire :

$\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{DB}{EC} \left ( = \dfrac{AD}{AE}\right )$

 

Le dernier rapport n'est pas utile car $AD$ et $AE$ ne sont pas données. On remplace donc les deux premières fractions par leur valeur :

$\dfrac{4}{4 + x} = \dfrac{3}{9}$

D'après l'égalité des produits en croix on a : $ 4 \times 9 = (4 + x) \times 3$ 

Ainsi $ 36 = 3(4 + x)$, et après développement on a $36 = 12 + 3x$.

On commence par les opérations addition-soustraction, on enlève donc 12 des deux côtés de l'égalité.

$36 - 12 = 12 + 3x - 12$.

Ainsi $24 = 3x$ puis on divise par $3$ des deux côtés de l'égalité :

$ x = 8$. 

Conclusion, $BC=8$