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L'INCONTOURNABLE DU CHAPITRE

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Système de deux équations à deux inconnues - Méthode par substitution

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Système de deux équations à deux inconnues - Méthode par substitution

 

On cherche à résoudre le système suivant  $\left \{ \begin{array}{rccc} x + 2y & = & 13 & (1) \\ 2x - 3y & = & 12 & (2) \\ \end{array} \right.$ par la méthode de substitution. 

 

La première étape consiste à isoler dans une des deux équations une des deux inconnues. 

Ici, on choisit d'isoler $x$ dans la première équation car il n'y a pas de coefficient multiplicateur devant, permettant de l'isoler plus rapidement.

On soustraie donc des deux côtés de l'égalité de la première équation $2y$ :

 

$\left \{ \begin{array}{lccc} x & = & 13 - 2y & (1) \\ 2x - 3y & = & 12 & (2) \\ \end{array} \right.$

Il suffit maintenant de remplacer la valeur de l'inconnue isolée dans l'autre équation. 

$ 2 (13 - 2y) - 3y = 12$ : il s'agit ainsi d'une équation à une seule inconnue.

Après développement,

$26 - 4y - 3y = 12$ 

On regroupe ensuite les termes en $y$,

$26 - 7y = 12$

Puis on isole $y$ :

$26 -7y -26 = 12 - 26$

Ainsi $-7y = -14$.

Enfin en divisant par $-7$ des deux côtés de l'égalité on obtient

$y = \dfrac{-14}{-2}$, c'est à dire $ y = 2$.

 

Il s'agit maintenant de déterminer la valeur de $x$. On remplace donc $y$ par sa valeur dans l'équation où $x$ est isolé :

$x = 13 - 2 \times 2$ c'est à dire $ x = 9 $.

 

Ainsi, l'unique solution du systèmes est le couple $(9; 2)$.