MATHÉMATIQUES

Intervalle de confiance 

 

Définition :

 

Soit $p$ la proportion théorique telle que $0,2 < p < 0,8$, on regarde la fréquence observée sur un échantillon de taille $n > 25$.

L'intervalle de confiance de $p$ au niveau 0,95 est : $I_c = \left [ f - \dfrac{1}{\sqrt{n}}, f + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right ]$.

Cela signifie que 95% des Intervalles de confiance associés aux échantillons de tailles $n$ et de fréquence $p$ contient la proportion théorique. 

 

Exemples

 

On se propose de traiter la notion d'intervalle de confiance, intimement liée à la notion d'intervalle de fluctuation, à travers deux exemples. 

Exemple 1 : 

Avant les élections, le candidat A commande un sondage effectué sur 250 personnes.

128 déclarent avoir l'intention de voter pour A. Peut-il espérer gagner ?

Tout d'abord, la taille de l'échantillon $n = 250$ remplit la condition $n > 25$. 

La fréquence observée est $f = \dfrac{138}{250} \approx 0,552$. 

Dans ce cas, $I_c = \left [ 0,552 - \dfrac{1}{\sqrt{250}}, 0,552 + \dfrac{1}{\sqrt{250}} \right ] \approx [0,49; 0,62]$.

La probabilité théorique d'être élu appartient donc à l'intervalle $[0,49; 0,62]$.

Il est donc possible qu'il ne soit pas élu car la probabilité théorique peut être inférieure à 0,5. 

 

Exemple 2:

Le candidat effectue le même sondage sur un échantillon de 1000 personnes : 538 déclarent alors ôter pour A. 

Tout d'abord, la taille de l'échantillon $n = 1000$ remplit la condition $n > 25$. 

La fréquence observée est $f = \dfrac{523}{1000} \approx 0,538$. 

Dans ce cas, $I_c = \left [ 0,538 - \dfrac{1}{\sqrt{1000}}, 0,538 + \dfrac{1}{\sqrt{1000}} \right ] \approx [0,51; 0,57]$.

La probabilité théorique d'être élu appartient donc à l'intervalle $[0,51; 0,57]$.  Il est donc plausible qu'il soit élu car la probabilité théorique est supérieure à 0,5, sauf dans 5% des cas où l'intervalle de confiance ne contient pas la proportion théorique. 

On remarque que l'augmentation de la taille de l'effectif permet de diminuer l'écart entre les bornes de l'intervalle de confiance et la fréquence observée.