MATHÉMATIQUES

Étude de la continuité d'une fonction

 

On souhaite étudier la continuité de la fonction définie par $f(x) = \left \{ \begin{array}{l} -x + 2 \text{ si } x \leq -1 \\ x + 4 \text{ si } -1 < x \leq 1 \\ -x + 4 \text{ si } 1 < x \leq 5 \end{array} \right.$. 

Il s'agit d'une fonction définie par morceaux car elle est définie sur différents intervalles. 

On trace la fonction sur les différents intervalles. 

On peut calculer l'image de $-1$ par la fonction $f$ sur l'intervalle $]-\infty, -1]$, on a ainsi $f(-1) = 3$.

On calcule également $f(-3) = 5$.

Comme $f$ est une fonction affine sur cet intervalle, on relit les deux points pour former une demi droite, car on s'arrête en $x = -1$, la formule $f(x) = -x + 2$ n'est vraie que pour $x \leq -1$.

 

On trace ensuite la fonction $f$ sur l'intervalle $]-1; 1]$. On ne peut pas calculer l'image de $-1$ par la fonction $f(x) = x + 4$.

On calcule alors $f(0) = 4$ et $f(1) = 5$ puis on relit ces deux points, pour former un segment dont les extrémités coïncident avec les points d'intersections avec les droites $x = -1$ et $x = 1$. 

On trace de même la courbe représentative de $f$ sur le dernier intervalle.

On trace à l'extrémité gauche de la courbe ainsi tracée un crochet ouvert pour indiquer que l'image par $f$ de $x = 1$ ne se lit par sur cette troisième courbe mais sur la précédente. 

 

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On étudie maintenant la continuité de la fonction $f$.

Une fonction est continue lorsque l'on peut tracer la courbe représentative de la fonction sans lever le crayon.
Ainsi, $f$ est continue pour $x < 1$. 

Graphiquement, on remarque que $f$ n'est pas continue en $x = 1$ car il faut lever le crayon. 

Donc, $f$ est continue sur $]-\infty; 1[ \cup ]1; 5]$. 

On souhaite désormais prouver que $f$ n'est pas continue en $x = 1$. 

On calcule donc dans un premier temps la limite à gauche de $f$ en $1$, c'est à dire on calcule $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 1 \\ x < 1}} f(x) = \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 1 \\ x < 1}} x + 4$ car on regarde la fonction $f$ pour $x < 1$.

Ainsi, $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 1 \\ x < 1}} f(x) = 5$. 

 

On calcule ensuite la limite à droite de $f$ en $1$, c'est à dire par valeur supérieure. On calcule donc $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 1 \\ x > 1}} f(x) = \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 1 \\ x > 1}} - x + 4 = 3$. 

On observe ainsi que la limite à gauche de $f$ en $1$ vaut $5$ et à droite vaut $3$ : ces deux limites étant différentes, la fonction n'est pas continue en $x = 1$.