MATHÉMATIQUES

Etude de la fonction cosinus

 

Domaine de définition et dérivée

 

La fonction cosinus est définie sur $\mathbb{R}$.

Elle est, en outre, $2\pi$-périodique (ce qui signifie que pour tout $x\in\mathbb{R}, \cos(x+2\pi)=\cos(x)$)

et paire (pour tout $x\in\mathbb{R}, \cos(-x)=\cos(x)$) ce qui permet de restreindre son étude à $[0,\pi]$.

Son domaine de dérivabilité est $\mathbb{R}$ et pour tout $x\in\mathbb{R}, \cos'(x)=-\sin(x)$.

 

Variations sur $[0,\pi]$

 

Pour étudier les variations de la fonction cosinus, on étudie le signe de sa dérivée c'est-à-dire le signe de $-\sin(x)$ sur $[0,\pi]$.

 variations_cosinus

 

Représentation graphique

 

Courbe représentative de la fonction cosinus obtenue avec les propriétés de parité et de périodicité de la fonction:

 cosinus-graphique

 

Propriétés algébriques et autres formules

 

Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$.

Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$.

Pour tous $a,b$ réels, $\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$.

Formule d'Euler : $\cos(\theta)= \dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$, où $e^{i\theta}$ est le nombre complexe de module 1 et
d'argument $\theta$ : $e^{i\theta}=\cos ({\theta}) +i\sin({\theta})$.

$\cos(-x) =\cos(x)$

$\cos(x+\pi)= -\cos(x)$

$\cos(\frac{\pi}{2}-x)= \sin(x)$