MATHÉMATIQUES

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Factorisation de $x^n - 1$ par $(x - 1)$

 

Racine évidente

 

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$,

on définit pour tout $x \in \mathbb{R}$ le polynôme $P(x) = x^n - 1$.

Ce polynôme admet pour racine évidente $1$.

Ainsi, on peut factoriser ce polynôme et l'écrire sous la forme $P(x) = (x - 1) \times Q(x)$, avec $Q$ un polynôme de degré $n - 1$. 

On regarde pour les premières valeurs de $n$ la forme du polynôme $Q$.

 

Si $n = 2$, alors $P(x) = x^2 - 1$. 

On reconnait ici une identité remarquable. 

Ainsi, $P(x) = (x - 1)(x + 1)$, et $Q(x) = x + 1$.&n

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