MATHÉMATIQUES

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Déterminer les points d'intersections d'un cercle ou d'un parabole avec une droite parallèle à un axe

 

I) Points d'intersection d'une parabole $\mathcal{P}$ d'équation $p(x) = ax^2 + bx + c$ avec une droite $\mathcal{D}$

 

Remarque 1 : 

Un point $M(x, y)$ appartient à la parabole $\mathcal{P}$ si et seulement si $y = p(x)$, c'est à dire que $y$ est l'image de $x$ par la fonction $p$. 

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Remarque 2 : 

Une droite parallèle à l'axe des ordonnées a pour équation $x = k$, avec $k$ un réel.

Une droite parallèle à l'axe des abscisses a pour équation $y = k'$, avec $k'$ un réel.

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a) Droite parallèle à l'axe des ordonnées d'équation $ x= k$ 

 

Comme il ne correspond à chaque $x$ une et une seule image par la fonction $p$, il n'y a qu'un point d'intersection entre la droite et la parabole. 

Ce point d'intersection appartient à la fois à la droite et à la fois à la parabole, ses coordonnées vérifient donc les équations suivantes :

$\left \{ \begin{array}{l} x = k \\ y = p(x) = ax^2 + bx + c \end{array} \right.$

Comme on sait que $x = k$, il suffit de remplacer dans la deuxième équation $x$ par $k$.

Le point d'intersection $I$ a donc pour coordonnées $I(k; p(k))$. 

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Exemple :

La parabole a pour équation $y = x^2 - 3x - 5$ et la droite $\mathcal{D}$ à pour équation $ x = 4$. 

On calcule l'image par $p$ de $4$ : $p(4) = 4^2 - 3 \times 4 - 5 = -1$.

Ainsi, le point d'intersection $I$ &ag

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