MATHÉMATIQUES

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LOI NORMALE CENTRÉE RÉDUITE

 

La loi normale centrée réduite

 

Définition


Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale centrée réduite, notée $ \mathcal{N} (0;1)$ si et seulement si la densité de probabilité sur $\mathbb{R}$ est :

\( \displaystyle f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} \)

 

loi-normale-centree-reduite

Exemple

Une variable aléatoire $X$ suit une loi normale centrée réduite.

A l'aide de la calculatrice ou d'une table de valeurs, déterminer les probabilités suivantes :

a. $P(X \geqslant 1,35)$         b. $P(X \leqslant -0,56)$

Correction

D'après la calculatrice, on connait : $P(X \leqslant 0,56)\approx 0,7123$   et   $P(X \leqslant 1,35)\approx 0,9115$

a. $P(X \geqslant 1, 35) = 1 - P(X \leqslant 1, 35) \approx 1 - 0,9115 \approx 0,0885$

b. $P(X \leqslant -0, 56) = 1 - P(X \leqslant 0,56) \approx 1 - 0,7123 \approx 0,287$

 

 

Théorème

 

Si une variable aléatoire $X$ suit une loi normale centrée réduite $ \mathcal{N} (0;1)$ alors son espérance $E(X)$ est nulle et sa variance $V(X)$ est égale à 1.

$E(X)=0$

$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=1$


On a aussi :

\( \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\int \limits_{0} ^{x}f(t)dt=\frac{1}{2} \)   et \( \displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\int \limits_{x} ^{0}f(t)dt=\frac{1}{2}\).

 

Remarque :

On n'oubliera pas les formules qui s'appliquent aux lois de probabilités continues :

$P(a \leqslant X \leqslant b)=P( X \leqslant b)-P(X \leqslant a )$

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$P(X\geqslant a)=1-P(X\leqslant a) $

$P(X\leqslant -\mid{a}\mid)=1-P(X\leqslant \mid{a}\mid)= P(X\geqslant\mid {a}\mid)$