MATHÉMATIQUES

Variations d'une suite

 

Soit $(U_n)$ une suite numérique définie pour tout entier $n$.

Une suite $(U_n)_{(n \in \mathbb{N})}$ est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel $n$, $U_{n + 1} \geq U_n$.

Une suite $(U_n)_{(n \in \mathbb{N})}$ est décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel $n$, $U_{n + 1} \leq U_n$.

Une suite $(U_n)_{(n \in \mathbb{N})}$ est strictement croissante si et seulement si, pour tout entier naturel $n$, $U_{n + 1} > U_n$.

Une suite $(U_n)_{(n \in \mathbb{N})}$ est strictement décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel $n$, $U_{n + 1} < U_n$.

 

Montrer qu'une suite est monotone revient à montrer que la suite est croissante ou décroissante. 

Pour étudier les variations d'une suite, il existe quatre méthodes :

 

I. Comparer directement $U_{n + 1}$ à $U_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$

 

II. Étudier le signe de $U_{n + 1} - U_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

Si $U_{n + 1} - U_n \geq 0$, $(U_n)$ est croissante car alors $U_{n + 1} \geq U_n$ et,

Si $U_{n + 1} - U_n \leq 0$, $(U_n)$ est décroissante car alors $U_{n + 1} \leq U_n$

 

III. Si une suite est strictement positivecomparer $\dfrac{U_{n + 1}}{U_n}$ à 1,

Si par exemple $\dfrac{U_{n + 1}}{U_n} \geq 1$ alors $U_{n + 1} \geq U_n$ donc $(U_n)$ est croissante.

 

IV. Si $U_n = f(n)$, étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}_+$ :

Si $f$ est croissante sur $\mathbb{R}_+$, alors comme $n + 1 \geq n \iff f(n + 1) \geq f(n)$ par croissance de $f$ $\iff U_{n + 1} \geq U_n$, $(U_n)$ est donc croissante.

 

  • L
    Link ~ 10/06/2017
    un grand merci pour ces packs dernières révisions je les trouvent juste géniaux !!!!!! :)... Afficher la suite
    • L
      Link ~ 10/06/2017
      un grand merci pour ces packs dernières révisions je les trouvent juste géniaux !!!!!! :)
    • logo-lesbonsprofs
      Fanny ~ 10/06/2017

      Mais de rien, nous sommes heureux que cela t'aide !! :)

  • R
    Romane ~ 24/09/2017
    bonjour, j'ai bien compris cette méthode mais lorsque l'on a Un+1 et non Un est-il toujours possible... Afficher la suite
    • R
      Romane ~ 24/09/2017
      bonjour, j'ai bien compris cette méthode mais lorsque l'on a Un+1 et non Un est-il toujours possible de faire la différence ?? si pas exemple Un+1=racine (2Un) et U0=1.
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      Fanny ~ 24/09/2017

      Bonjour !

      Tu dois avoir les deux, Un ET Un+1. Pour avoir les deux parfois il faut déduire l'expression de Un, en fonction de Un+1, grâce aux formules des suites arithmétiques et géométriques par exemple !

  • M
    Maria ~ 08/05/2018
    Bonjour, merci beaucoup pour la vidéo! J'ai une question concernant la 4ème méthode (étudier Un grâ... Afficher la suite
    • M
      Maria ~ 08/05/2018
      Bonjour, merci beaucoup pour la vidéo! J'ai une question concernant la 4ème méthode (étudier Un grâce à f(n)) : pourquoi est-il dit qu'en étudiant les variations de f(n) sur les réels POSITIFS, on peut connaître les variations de Un toute entière s'il-vous-plaît? Merci, et bon mardi!
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      Loïc ~ 08/05/2018

      Bonjour Maria,

      on sait que l'on a la relation suivante : un = f(n), or n peut prendre uniquement des valeurs entières, donc positives.

      Si maintenant on connait les variations de f, supposons par exemple que f est croissante sur les réels positifs, alors on a la relation suivante :

      soient a et b deux réels positifs tels que a ≤ b, alors f(a) ≤ f(b). 

      Maintenant, si on prend a = n, et b = n + 1, on a bien la relation n ≤ n +1, et alors f(n) ≤ f(n+1), ce qui revient à dire un ≤u(n+1). 

      Ainsi, comme on va regarder f uniquement sur les valeurs entières pour connaitre les variations de la suite (un), on étudie donc f uniquement sur les valeurs positives, car le reste ne nous intéresse pas.

      N'hésite pas à me demander des précisions,

      Bonne soirée,

      Loïc