PHYSIQUE-CHIMIE

LA NUMÉRISATION : CODAGE

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Le codage en base 10

 

Le codage en base 10 est le codage utilisé implicitement, habituellement, tous les jours.

 

Exemple 1

Si on prend un nombre au hasard, ici 236, implicitement chaque colonne représente une puissance de 10. Les unités : 10; les dizaines : 101 ; les centaines : 102. Sous-entendu, derrière 236, il y a bien un codage en base 10. On a alors : $236 = 2\times 10^2 + 3\times10^1 + 6\times 10^0$.

Le 10 revient à chaque fois car on travaille en base 10. En puissance, on retrouve le rang et devant on retrouve le nombre 236. Le nombre associé doit être compris entre 0 et 9 puisqu’on est en base 10.

 

Exemple 2

On prend 0,23. C’est toujours en base 10 mais les rangs qui sont à droite de la virgule sont négatifs : le 2 est au 1er rang après la virgule (-1), le 3 est au 2e rang après la virgule (-2). On a alors : $0,23 = 2\times10^{-1} + 3\times10^{-2}$.

De nouveau on peut décomposer le nombre, en retrouvant la base 10. Une remarque : sans la virgule, on ne pourrait pas avoir de nombre décimal. Sans la virgule, comment indiquer que c’est à partir de ce rang-là qu’on passe dans les rangs négatifs ? Par exemple, une suite de nombres improbables qui indiquerait que tout ce qu’il y a après correspond à un rang négatif. Il faut en tous cas bien une indication pour savoir quand est-ce qu’on passe dans les rangs négatifs. Si l’on a pas de virgule, la convention veut que le chiffre de droite corresponde à la colonne des unités. Le nombre de digits va forcément déterminer la plage de mesures. Là encore, cela paraît  peut-être évident mais on va réussir à en tirer une formule. Par exemple, si on a un nombre avec quatre digits, cela veut dire que le nombre contient quatre chiffres. Étant donné qu’on est en base de 10, on peut utiliser des chiffres de 0 à 9. Le nombre le plus petit sera composé de quatre zéros et le nombre le plus grand de quatre 9. Donc on obtient 10 000 nombres (car le zéro compte).

On appelle $N$ le nombre de nombres possibles (c’est-à-dire 10 000). 10 000 c’est aussi 104. 10 est la base et 4 est le nombre de digits. Le nombre $N$ est 10n avec $n$ le nombre de digits.

 

Le codage en binaire

 

Le codage en binaire est le codage utilisé fréquemment dans les systèmes numériques parce qu’il n’y a besoin que de deux états qu’on symbolise par des 0 et des 1. Dans un système électronique cela pourrait être 0 et 5 volts. 0 Volt indiquerait un bit qu’on appellerait 0 et 5 volts celui qu’on appellerait 1.

  

Exemple 1

Imaginons un signal qui passe de 5 volts à 0 puis à 5 volts. Cela équivaut à 101. Que vaut ce nombre ? Il est écrit en base binaire donc il ne faut pas le lire comme 101 mais plutôt comme 1-0-1. Que vaudrait-il en base décimale ?

$101 = 1\times2^2 + 0\times^1 + 1\times2^0 = 5$. Le 2 correspond à la base et le 2 en exposant correspond au rang.

 

Exemple 2

On prend un nombre plus compliqué : 10010. On obtient : $10010 = 1\times2^4 + 1\times2^1 = 18$.

Le nombre de bits détermine le nombre de nombres possibles. On commence par des cas particuliers puis on donner la formule générale. 1 bit c’est 0 ou 1 donc cela fait 2 nombres. 2 bits c’est soit 00, soit 01, soit 10, soit 11. Ainsi, on a 4 nombres possibles. S’il y a 3 bits, on aura 000, ou 010, ou 001, ou 100, ou 110, ou 101, ou 011, ou 111. Soit 8 nombres. On peut voir que 2 nombre correspond à 21, 4 c’est 22, 8 c’est 23, etc. On montre alors que le nombre de nombre possibles en binaire est : $N = 2^n$. 2 est la base et $n$ le nombre de bits.

 

On a donc pour le codage en base 10 : $N = 10^n$ et pour le codage en binaire : $N = 2^n$.