Distance d’un point à un plan

Distance d'un point à un plan / à une droite

Ces notions \ne sont pas exigibles au programme :

– Soient le plan (P) d’équation (ax + by + cz + d = 0) et un point (A (x_A; y_A; z_A)).

La distance du point au plan se calcule par :

(D(A, P) = AH = dfrac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{sqrt{a^2 + b^2 + c^2}})

– La distance du point $A$ à une droite (Delta) est la distance (AH) telle que :

( left{ \begin{array}{ll} H \in \Delta \ \overrightarrow{AH} . \overrightarrow{u} = 0 \end{array} right. )

$overrightarrow{u}$ étant une vecteur directeur de la droite$Delta$

Distance d'un point à un plan / à une droite - Exercice 1

Soit (Delta left{ \begin{array}{ll} x = 2t – 1 \ y = t + 6 \ z = 3t + 3 \end{array} right. ) avec (t \in mathbb{R}).

Soit (M (0, 1, 2)).

Calculer la distance entre le point et la droite.

Étape 1 : On remplace (x, y \text{ et \} z) par les coordonnées du point (M). Si le nombre (t) est unique, alors (M) appartient à la droite.
Étape 2 : On définit un point (H) tel que (H) appartient à (Delta) et ( \overrightarrow{MH} . \overrightarrow{u} = 0).
Étape 3 : On définit un vecteur (overrightarrow{u}) de (Delta) à partir des coefficients de (t).
Étape 4 : On définit et on résout le système d’équations vérifiant les 2 conditions du point (H).
Étape 5 : Grâce à la valeur de (t), on peut définir les coordonnées du point (H).
Etape 6 : On utilise la formule du cours pour calculer la longueur (MH) à partir des coordonnées de (M) et de (H) :

Distance d'un point à un plan / à une droite - Exercice 2

Soient (P : -x + 2y + 3z + 2 = 0) et (A (2, 0, 1)).
Cherchons la distance du point au plan.

Étape 1 : On regarde si le point appartient au plan en remplaçant (x, y \text{ et \} z) par les coordonnées du point (A).
Étape 2 : On applique la formule du cours avec les valeurs des coefficients de l’équation du plan et des coordonnées de (A).