Petit théorème de Fermat

Petit théorème de Fermat

Petit théorème de Fermat

 

Théorème

 

Soit $n$ un nombre premier. Pour tout entier naturel $a$, on a :

$a^nequiv a[n]$.

De plus, si $n$ ne divise pas $a$, alors :

$a^{n-1}equiv 1[n]$

$a^{n-1}-1equiv 0[n]$

 

Exemple :

$a$ et $b$ désignent deux entiers naturels non multiples de 53.

Démontrer que $a^{52}-b^{52}$ est divisible par 53

 

étape 1 : On vérifie que $n=53$ est un nombre premier.

étape 2 : On vérifie, grâce à l’énoncé, que 53 ne divise ni $a$, ni $b$.

étape 3 : On applique le corollaire du petit théorème de Fermat à $a$ puis à $b$.

$a^{52}-1equiv 0[53]$

$b^{52}-1equiv 0[53]$

étape 4 : La congruence est compatible avec la soustraction.

$(a^{52}-1)-(b^{52}-1)equiv 0[53]$

$a^{52}-b^{52}equiv 0[53]$

$a^{52}-b^{52}$ est donc divisible par 53

Petit théorème de Fermat - Exercice

Exercice

 

(a) et (b) désignent deux entiers naturels non multiples de 53, démontrons que

(a^{52} – b^{52}) est divisible par 53.

Étape 1 : On vérifie que 53 est un nombre premier.

Étape 2 : On vérifie, grâce à l’énonce, que 53 ne divise pas (a).

Étape 3 : On applique le corolaire du petit théorème de Fermat à (a) puis à (b).

Étape 4 : La congruence est compatible avec la soustraction.