Les primitives

Primitive d’une fonction

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.

On dit qu’une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si et seulement si $F$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x$ de $I$, $F'(x) = f(x)$.

 

Primitives usuelles

 

primitives_usuelles

Opérations sur les primitives

Opérations élémentaires sur les primitives

 

Propriétés

 

Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ réel.

Fonction Une primitive Conditions
$u’+v’$ $u+v$  
$ku’$ (avec $k$ constante) $ku$  
$u’u^n$ avec $n$ appartient à $\mathbb{Z}$ et différent de $-1$ $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ $u$ différent de $0$ sur $I$  si $u\leq 0$
$\dfrac{u’}{\sqrt u}$ 2$\sqrt u$ $u>0$ sur $I$
$\dfrac{v’}{v^2}$ $-\dfrac{1}{v}$ $v\neq 0$ sur $I$
$u’e^{u}$ $e^{u}$  
$\dfrac{u’}{u}$

$\ln(u)$

$\ln(-u)$

$u>0$ sur $I$

$u<0$ sur $I$

$u'(v’\circ u)$ $v\circ u$  

 

 

Exemples

1. Chercher une primitive sur \(\mathbb{R}\) de : $ f(x) = x e^{x^2+ 1}$

2. Chercher une primitive sur \(\mathbb{R}\) de : $ g(x) = \dfrac{6x + 3}{x^2 + x + 1}$.

 

Correction

1. $ f(x) = x e^{x^2+ 1}$

Etape 1 : On cherche les expressions de \(u\) et \(u’\) pour arriver à la forme \(u’ e^u\).

\(u (x) = x^2+ 1 \) et \(u'(x)= 2x \)

Etape 2 : On multiplie par $2$ et par $\dfrac{1}{2}$ pour faire apparaître le “$2$” manquant.

$ f(x)=\dfrac{1}{2} \times 2x e^{x^2+ 1} $

$ f(x)=\dfrac{1}{2} u'(x) e^u(x) $

Etape 3 : On définit une primitive grâce au cours.

$ F(x)= \dfrac{1}{2} e^{x^2+ 1}$

 

2.$ g(x) = \dfrac{6x + 3}{x^2 + x + 1}$

Etape 1 : On note \(u(x)= x^2 + x + 1 \) et \(u'(x)=2x+1\). On factorise par $3$ le numérateur pour faire apparaître \(u'(x)\).

On a : $ g(x) = \dfrac{3(2x + 1)}{x^2 + x + 1}$.

Soit : $ g(x) = \dfrac{3u'(x)}{u(x)}$.

Etape 2 : On remarque que $x^2+x+1>0$ sur $\mathbb{R}$ et on définit une primitive de $g$ grâce au cours.

$ G(x) = 3\ln (x^2 + x + 1)+ c$

Opérations sur les primitives - Exercice

Cherchons une primitive de : \(f(x) = \frac{ln x}{x}\) pour \(x \in ]0 ; +\infty [\)

Étape 1 : On découpe l’expression en deux parties que l’on reconnaît comme \(u\) et sa dérivée.
Étape 2 : On trouve une primitive grâce au tableau des opérations sur les primitives.

Cherchons une primitive de : \(g(x) = \frac{2}{3} x\sqrt{x}\) pour \(x \in ]0 ; +\infty[\)

Étape 1 : On utilise le fait que \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\)
Étape 2 : On regroupe les termes de \(x\).
Étape 3 : On connaît une primitive de \(x^n\).