Théorème des gendarmes

Le théorème des gendarmes

 

Théorème

Soient $I$ un intervalle de $mathbb{R}$ et $a$ une borne de $I$ ($a$ est réel ou infini).

Si $f$, $g$, et $h$ sont trois fonctions définies sur $I$ telles que, pour tout $xin I$ : $ f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x) $

Si de plus $displaystyle lim_{xto a} f(x) = lim_{xto a} h(x) = ell$  avec $ellin mathbb{R}$, alors :

$displaystyle lim_{xto a} g(x) = ell$

 

Illustration graphique

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Le calcul d’une limite se fait très régulièrement par l’intermédiaire d’inégalités. Il est important d’avoir quelques inégalités en tête lors d’un exercice sur les fonctions.

En voici quelques-unes des plus utiles dans le cadre du théorème des gendarmes :

 

Pour tout $xinmathbb{R}$, $e^xgeqslant x+1$.

Pour tout $xin mathbb{R}$, $|sin(x)|leqslant 1$ et $|cos(x)|leqslant 1$.

Pour tout $x>0$, $ln(x)leqslant x-1$.

 

 

Théorème des gendarmes - Exercice 1

Exercice

 

Soit(f(x) = \dfrac{1}{x + \cos x}) une fonction définie sur  

(D_f = [pi ; +infty[).

Étudions ( displaystylelim_{xto +infty} f(x)).

 

Ce qu’il faut savoir faire :

  • Étape 1 : On sait que pour tout (x) appartenant a (Df), (cos(x)) est compris entre (-1) et (1).
  • Étape 2 : On poursuit l’encadrement pour retrouver la fonction (f).
  • Étape 3 : On calcule la limite en l’infini des $2$ fonctions encadrant (f).
  • Étape 4 : On peut conclure grâce au théorème des gendarmes que la limite en l’infini de (f) est (0).