Cours Puissance d'une matrice
Exercice

L'énoncé

Soit \((U_n)\) une suite de matrices telle que, pour tout entier naturel n, \(U_{n+1} = AU_n + B\) avec

\(U_0 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\), \(A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\).


Question 1

Déterminer une suite constante \(X\) vérifiant la relation de récurrence.

\(X = AX + B \Longleftrightarrow (I - A)X = B\)

Or \(I - A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}\)

Cette matrice est inversible de déterminant 1 donc :

\(X =(I - A)^{-1}B\)

\(X = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\)

\(X = \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix}\)

Il suffit de résoudre l’équation \(X = AX + B\). Commencez par factoriser.


On obtient : \(X = (I - A)^{-1}B\), il ne reste plus qu’à calculer.


Savez-vous calculer l’inverse d’une matrice ? En cas de doute, revoyez la vidéo de rappel dans les prérequis.

Question 2

Soit \(V_n = U_n - X\). Montrer que pour tout entier naturel n, \(V_{n+1} = AV_n\)

\(U_{n+1} = AU_n + B\)

et\( X = AX + B\)

Donc : \(V_{n+1} = U_{n+1} - X\)

\(V_{n+1} = AU_n - AX\)

\(V_{n+1} = AV_n\)

Pensez à utiliser toutes les données fournies par l’énoncé et la question précédente.


Il suffit de faire une soustraction.

Question 3

Exprimer \(V_n\) en fonction de \(V_0\).

Montrons par récurrence que \(V_n = A^n V_0\) :

Initialisation : n=0 :   \(V_0 = V_0\).

Hérédité : Supposons qu'il existe un entier k tel que \(V_k = A^k V_0\), alors :

\(V_{k+1} = AV_k\)

\(V_{k+1} = AA^k V_0\)

\(V_{k+1} = A^{k+1}V_0\)

Donc pour tout entier naturel n, \(V_n = A^n V_0\)

Avez-vous pensé à le démontrer par récurrence ?


Besoin d’un rappel sur les démonstrations par récurrence ? Revoyez le cours sur cette notion dans les prérequis.

Question 4

En déduire que \(U_n = A^n (U_0 - X) + X\)

\(U_n - X = A^n (U_0 - X) \Leftrightarrow U_n = A^n (U_0 - X) + X\)

\(V_n = U_n - X\)


Il suffit donc d’écrire \(U_n\) en utilisant la question précédente.

Question 5

Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(A^n = \begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ n2^{n-1} & 2^n \end{pmatrix}\)

En déduire l'expression de \(U_n\) en fonction de \(n\).

Démontrons par récurrence que : pour tout entier naturel \(n\), \(A^n = \begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ n2^{n-1} & 2^n \end{pmatrix}\).

Initialisation : pour \(n=0\), \(A^0 = I\).

Hérédité : Supposons quil existe un entier naturel \(k\) tel que \(A^k = \begin{pmatrix} 2^k & 0 \\ k2^{k-1} & 2^k \end{pmatrix}\).

Alors :
\(A^{2k+1} = \begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ n2^{n+1} & 2^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\) \(A^{2k+1} = \begin{pmatrix} 2^{k+1} & 0 \\ (k+1)2^k & 2^{k+1} \end{pmatrix}\)

Donc, pour tout entier naturel \(n\), \(A^n = \begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ n2^{n-1} & 2^n \end{pmatrix}\).

Ainsi
\(U_n = A^n(U_0 - X) + X\)

\(U_n = \begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ n2^{n-1} & 2^n \end{pmatrix} \left\lbrack \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix} \right\rbrack + \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix}\)

\(U_n = \begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ n2^{n-1} & 2^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix}\)

\(U_n = \begin{pmatrix} 2^n \times 3 - 1 \\ 2^{n-1} (3n+8)-3 \end{pmatrix}\)

La méthode est indiquée dans la question ! Comme souvent avec les suites, il n’y a pas d’autre choix qu’une récurrence.