Factorisation

Factorisation

 

En utilisant $ka + kb = k(a + b)$

 

La première méthode pour factoriser consiste à appliquer la formule suivante :

$ka + kb = k(a + b)$.

Elle repose sur la recherche et l’identification de facteur commun, qui doit être présente dans chaque terme de la somme. 

 

Exemples : 

Factoriser les expressions suivantes.

a) $A= 6x – 18$. 

Le facteur commun est $6$ ici.

En effet $18 = 3 \times 6$. 

Ainsi,

$A=6x – 18 = 6x – 6 \times 3 = 6(x – 3)$. 

 

b) $B=(x + 1)^2 – (2x + 7)(x + 1)$. 

Il faut ici se rappeler que

$(x + 1)^2 = (x + 1) \times (x + 1)$. 

Ainsi, le facteur commun est $(x + 1)$. 

$B= (x + 1) \times (x + 1) – (2x + 7)(x + 1) $

$B= (x + 1)[(x + 1) – (2x + 7)]$. 

Il faut ensuite développer et réduire les termes dans le crochet, en veillant à \ne pas se tromper sur les signes.

$B= (x + 1)[x + 1 – 2x – 7] $

$B= (x + 1)(-x – 6)$. 

 

Factoriser avec les identités remarquables (programme de seconde)

 

La deuxième manière consiste à utiliser les identités remarquables.

Pour rappel, les identités remarquables sont :

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a-  b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$

$(a + b)(a – b) = a^2 – b^2$

 

Exemple :

Factoriser l’expression $4x^2 + 12x + 9$. 

On remarque que seule la première égalité pourrait convenir. 

On cherche à présent si elle convient réellement, en cherchant la valeur de $a$ et de $b$.

On aurait $4x^2 = a^2$, c’est à dire $a= 2x$.

De même, on aurait $b^2 = 9$, c’est à dire $b = 3$. 

Il faut maintenant calculer $2ab = 12x$. 

On peut donc appliquer la première égalité.

Ainsi  $4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$. 

Factoriser avec un facteur commun

Factoriser avec un facteur commun

 

Propriété

 

Pour tous nombres $a, b$ et $k$, on a :

$ktimes a + ktimes b = k(a + b) $

On passe d’une somme à un produit : c’est la factorisation. 

Pour factoriser une expression, il faut faire apparaître le facteur commun aux deux termes de la somme.

 

Exemples :

 

 

  •  Factoriser $6x + 12$

On remarque que $12 = 6 \times 2$, $6$ est donc le facteur commun. Ainsi,

$6x + 12 = 6times x + 6 \times 2 $

$6x + 12 = 6(x + 2)$.

En développant cette expression, on retrouve l’expression initiale.

 

  •  Factoriser $21 – 7x$.

On remarque que $21$ est un multiple de $7$, donc $7$ est le facteur commun.

$21 – 7x = 7 \times 3 – 7 \times x $

$21 – 7x = 7 ( 3 -x )$. 

 

  •  Factoriser $3 + 3x$.

Le facteur commun est $3$. Il faut cependant faire apparaitre dans chacun des termes un produit faisant intervenir $3$.

On se rappelle alors que $3 = 3 \times 1$.  Ainsi,

$3 + 3x = 3times 1 + 3 \times x

$3 + 3x= 3 (1 + x)$

 

  • Factoriser $(3x+4)(x+2)+(x+2)(5x-2)$

Le facteur commun est ici $(x+2)$. Ainsi : 

$(3x+4)(x+2)+(x+2)(5x-2)= (x+2)[(3x+4)+(5x-2)]$

$(3x+4)(x+2)+(x+2)(5x-2)=(x+2)(3x+4+5x-2)$

$(3x+4)(x+2)+(x+2)(5x-2)=(x+2)(8x+2)$