Opérations sur les fractions

Opérations sur les fractions

 

1) Somme ou différence de deux fractions

 

Pour additionner ou soustraire deux nombres en écriture fractionnaire, il faut qu’ils aient le même dénominateur.

On réduit donc les nombres au même dénominateur.

 

Exemples :

On souhaite calculer $\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{9}$.

On ne peut pas additionner directement les deux nombres, on réduit donc ces fractions au même dénominateur.

Pour cela, on multiplie la première en haut et en bas par le dénominateur de la seconde et inversement.

Ainsi,

$ \dfrac{2 \times 9}{5 \times 9} + \dfrac{1 \times 5}{9 \times 5} = \dfrac{18}{45} + \dfrac{5}{45}$

$ \dfrac{2 \times 9}{5 \times 9} + \dfrac{1 \times 5}{9 \times 5}= \dfrac{23}{45}$.

 

On souhaite à présent calculer $\dfrac{3}{14} – \dfrac{1}{7}$.

Si on suivait la méthode précédente, on devrait multiplier la première fraction en haut et en bas par $7$ et la seconde en haut et en bas par $14$, mais cela compliquerait grandement les calculs.

Le bon point de vue ici consiste à remarquer que $14 = 7 \times 2$; autrement dit, en multipliant la deuxième fraction en haut et en bas par $2$, on obtiendrait deux nombres fractionnaires ayant le même dénominateur !

Ainsi,

$\dfrac{3}{14} – \dfrac{1}{7} = \dfrac{3}{14} – \dfrac{1 \times 2}{7 \times 2}$

$\dfrac{3}{14} – \dfrac{1}{7}= \dfrac{3}{14} – \dfrac{2}{14} = \dfrac{1}{14}$.

 

2) Produit de fractions

 

Multiplier deux fractions revient à effectuer le quotient du produit des numérateurs par le produit des dénominateurs.

 

Exemples :

$\dfrac{3}{2} \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{3  \times 5}{2 \times 4} = \dfrac{15}{8}$.

$\dfrac{8}{3} \times \dfrac{7}{4}$.

Avant de se lancer dans les calculs, il est bon de regarder si on \ne peut pas simplifier.

On peut en effet remarquer que $8 = 4 \times 2$.

Dès lors,

$\dfrac{8}{3} \times \dfrac{7}{4} = \dfrac{4\times 2 \times 7}{3 \times 4} = \dfrac{2\times 7}{3} = \dfrac{14}{3}$.

 

3) Quotients de fractions

 

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.

 

Exemples :

$\dfrac{4}{5} \div \dfrac{11}{6} = \dfrac{4}{5} \times \dfrac{6}{11}$

$\dfrac{4}{5} \div \dfrac{11}{6}= \dfrac{24}{55}$.

Les fractions - propriétés

Les fractions – propriétés

 

1) Somme, différences

 

Pour additionner deux fractions, il faut qu’elles aient le même dénominateur.

Soit $b \neq 0$,    $dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a + c}{b}$

 

Exemple :

On souhaite calculer $1 + dfrac{2}{3}$.

Il faut dans un premier temps réduire les deux nombres fractionnaires au même dénominateur.

Or on se rappelle que $1 = \dfrac{1}{1} = dfrac{3}{3}$.

Ainsi, $1 + \dfrac{2}{3} = dfrac{3}{3} + dfrac{2}{3} = \dfrac{2 +3 }{3} = dfrac{5}{3}$.

 

2) Produit

 

Le produit de deux fractions correspond au rapport du produit des numérateurs par le produit des dénominateurs.

Soient $b \neq 0$ et $d \neq 0$,    $dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}$.

 

Exemple : 

$dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{7} = \dfrac{2 \times 3}{5 \times 7} = dfrac{6}{35}$.

 

3) Quotient

 

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.

Soient $b \neq 0, c \neq 0, d \neq 0$,     $dfrac{dfrac{a}{b}}{dfrac{c}{d}} = \dfrac{a}{b} \times dfrac{d}{c}$.

 

Exemple :

$dfrac{1}{dfrac{4}{3}} = 1 \times \dfrac{3}{4} = dfrac{3}{4}$

 

4) Fraction d’un nombre

 

Pour calculer la fraction d’un nombre, on multiplie la fraction par le nombre

 

Exemple :

$dfrac{4}{5}$ de 250€ revient à effectuer le produit $dfrac{4}{5} \times 250 = 200$€.