Modéliser une action sur un système

La force gravitationnelle

La force gravitationnelle est une force universelle : elle s’applique partout dans l’Univers. Elle s’applique entre tous corps massiques. Entre tous corps massiques, il y a une force d’attraction. Chez soi, devant un bureau, le bureau nous attire et on attire le bureau. La Terre nous attire et c’est pour cela que l’on reste à sa surface ! Bizarrement, on attire aussi la Terre.

 

I. La force gravitationnelle

 

Pour simplifier le problème, on ne représente que deux corps : A et B.

 

force-grav

 

Chacun possède une masse : $m_A$ pour A et $m_B$ pour B. Ils ont une distance $AB$ entre eux. On a représenté en gris l’axe qui relie $A$ et $B.$ Les forces vont aller selon cet axe.

La force de $A$ sur $B$ est dirigée vers $A$ et se trouve le long de le ligne grise.

De même pour la force de $B$ sur $A,$ elle est dirigée vers $B.$

On a représenté deux autres vecteurs, ce sont des vecteurs unitaires. On a $overrightarrow{u_{AB}}$ le vecteur unitaire qui se déplace de $A$ vers $B.$ C’est un vecteur donc il a une direction et un sens. Ce qui est particulier avec ce vecteur, c’est que sa norme vaut 1.

De même pour $overrightarrow{u_{BA}}$ le vecteur de $B$ vers $A.$ Seul le sens est différent ici.

Cette force d’attraction entre $A$ et $B$ et entre $B$ et $A$ vaut : $F_{A/B} = F_{B/A}=dfrac{Gtimes m_Atimes m_B}{AB^2}$.

$G$ est la constante gravitationnelle donc elle a toujours la même valeur. Elle vaut 6,67.10-11 S.I. Les masses sont en kilogramme et les distances en mètre. Attention aux conversions !

 

Remarque 

Puisque les forces sont opposées en sens mais leur intensité est identique, on voit que les vecteurs mesurent aussi la même taille, alors on a : $overrightarrow{F_{A/B}}=-overrightarrow{F_{B/A}}$.

On a aussi la relation : $overrightarrow{F_{A/B}} = F_{A/B}times overrightarrow{u_{BA}}$.

Par rapport à la norme de la force, le vecteur unitaire n’apporte rien puisqu’il est égal à 1. Donc, il est présent pour dire que la force d’attraction de $A$ sur $B$ est dirigée par le vecteur unitaire $overrightarrow{u_{BA}}$.

Comme $overrightarrow{u_{BA}} = -overrightarrow{u_{AB}}$, on peut remplacer dans la formule et obtenir : $overrightarrow{F_{A/B}} = -F_{A/B}times overrightarrow{u_{AB}}$.

En exercice, on peut demander de calculer la force qui s’exerce entre deux corps.

 

II. Exemple de la Terre et de la Lune. 

 

La Lune subit à tout moment une force exercée par la Terre, elle tourne autour de la Terre.

On connaît quelques valeurs : la masse de la Terre $M_T$ (5,97.1024 kg), la masse de la Lune $M_L$(7,34.1022 kg) et la distance entre le centre de la Terre et celui de la lune (TL = 3,8.105 km). En vérité, la trajectoire n’est pas tout à fait circulaire mais un peu elliptique et donc parfois la Lune et plus proche de la Terre ou plus éloignée. La distance donnée ici est une moyenne.

 

force-grav2

 

On calcule l’intensité de la force d’attraction  :

$F_{T/L} = Gtimes dfrac{M_Ttimes M_L}{TL^2}= dfrac{6,67.10^{-11}times 5,97.10^{24}times 7,34.10^{22}}{(3,8.10^5.10^3)^2}approx 2,0.10^{20}N$.

Lorsqu’on a une sphère homogène, on va la réduire au niveau de son centre. Donc on prend toujours les distances entre les deux centres. Attention à bien mettre la distance en mètres et non en kilomètres. On multiplie par 1 000 (103). Les points correspondent aux multiplications. Il faut aussi regarder le nombre de chiffres significatifs à indiquer dans le résultat. On prend toujours le nombre le plus petit de chiffres significatifs dans le calcul : ici c’est deux chiffres significatifs.

Le poids

I. La force gravitationnelle

 

Il existe une situation précise où l’on place un corps avec une masse $m$ à la surface de la Terre. On a la Terre de centre $T$ avec un corps à sa surface $M$ de masse $m.$ La masse de la Terre est $m_T$.

 

poids

 

Ce schéma est équivalent à un autre schéma simplifié. Au lieu de représenter la Terre sous une forme sphérique, on va réduire la Terre à son centre $T.$ Le corps en surface va être réduit à un point $M.$

Quelle est la distance entre $T$ et ce point ? Est-ce $R_T$ ? Oui !

On a l’impression que le corps est gros car on le voit bien, mais en fait, il est minuscule comparé à la Terre. C’est un tout petit point à sa surface. Donc la distance entre $M$ et $T$ est juste le rayon de la Terre (sauf dans quelques situations non prises en compte ici, par exemple $M$ est sur une montagne, il faudrait alors rajouter l’altitude du point).

On sait qu’avec la force gravitationnelle entre deux corps qui ont une masse, il y a une attraction. $T$ attire $M$ et cela est représenté par la flèche qui indique la force de la Terre sur le corps $M.$ Elle est dirigée vers $T.$ A côté, on a représenté une force unitaire qui nous sert à représenter la force gravitationnelle de façon vectorielle. Ce vecteur unitaire va de $M$ à $T$ et sa norme vaut 1. On l’a appelé $overrightarrow{u_{MT}}$.

Au niveau des expressions, on a : $overrightarrow{F_{T/M}} = Gtimes dfrac{m_Ttimes m}{R_T^2} times overrightarrow{u_{MT}}$.

Maintenant, voici l’intensité de la force : $F_{T/M} = |overrightarrow{F_{T/M}}| = Gtimes dfrac{m_Ttimes m}{R_T^2}times 1=mtimes g$.

Avec $g = dfrac{Gtimes m_T}{R_T^2} = 9,8 N/kg$.

Si on prend notre calculatrice et que l’on fait le calcul en allant chercher les valeurs, on devrait trouver environ 9,8 N/kg.

 

II. Le poids

 

Contrairement à ce qu’on sous-entend dans la vie de tous les jours, le poids n’est pas une masse en kilogramme. En physique, le poids c’est une force. Elle s’exprime donc en Newton.

Le vecteur poids est égal à : $overrightarrow{P} = overrightarrow{F_{T/M}} = Gtimes dfrac{m_Ttimes m}{R_T^2} times overrightarrow{u_{MT}}$.

Or, on a vu que $g = dfrac{Gtimes m_T}{R_T^2}$.

On a alors : $overrightarrow{P} = mtimes g times overrightarrow{u_{MT}}$.

Ce vecteur unitaire est vertical puisqu’il va de $M$ à $T,$ vers le centre de la Terre. Si on veut représenter le poids dans un référentiel terrestre, celui utilisé en général en mécanique, on va placer l’origine en $O,$ l’axe $x$ parallèle au sol et l’axe $y$ vertical. Un point $M$ ayant une masse $m$ subit le poids qui est dirigé vers le bas, vers le centre de la Terre.

On va reprendre la formule précédente.

Que vaut le vecteur unitaire ? Ce n’est pas tout à fait $overrightarrow{u_y}$ car il est vers le haut. C’est donc $-overrightarrow{u_y}$.

Ce qui explique cette formule : $overrightarrow{P} = -mtimes gtimes overrightarrow{u_y}$.

Cette nouvelle formule est juste une adaptation de la précédente formule mais avec le référentiel donné ici. Le poids est en Newton, la masse en kilogramme et $g$ la gravité s’exprime en N/kg. $g$ vaut environ 9,8N/kg.

Réaction du support et tension d'un fil

Réaction du support et tension d’un fil

 

I. Force exercée par un support

 

Lorsqu’un objet est posé sur un support, la seule force qui semble s’appliquer est le poids. Cependant on observe aisément que l’objet ne chute pas : cela est dû à la force de réaction du support qui le maintient.

Bilan des forces : $overrightarrow{P}$, le poids de l’objet et $overrightarrow{R}$, la force de réaction du support.

 

recation-support

 

$overrightarrow{R} = $

Point d’application : contact avec le support (point ou surface)

Direction : perpendiculaire au support

Sens : opposé au support

Norme : $R$ (a priori inconnue)

Remarque : si le support est penché, la force de rappel le sera donc aussi.

Attention ! a priori, on ne connaît pas la valeur de $R$ mais il est parfois possible de la calculer. Dans notre exemple, si l’objet est au repos sur le support on peut appliquer le principe d’inertie. On en déduit que les forces (poids et réaction) se compensent et donc $R = P$.

 

II. Tension d’un fil

 

On considère une masse attachée à un fil. Le fil est lui même attaché à un point fixe.

Comme pour la réaction, la tension du fil traduit le fait que la masse ne tombe pas en chute libre, qu’elle est retenue. 

Bilan des forces : $overrightarrow{P}$, le poids de l’objet et $overrightarrow{T}$, la tension du fil.

 

recation-support2

 

 

$overrightarrow{T} = $

Point d’application : point de contact avec l’objet

Direction : direction du fil

Sens : vers le point d’attache

Norme : $T$ (a priori inconnue)

 

Remarque : Si le fil n’est pas à la verticale, les deux forces n’ont pas la même direction : elles ne peuvent donc pas se compenser. D’après le principe d’inertie on est donc ni immobile, ni en mouvement rectiligne uniforme.