Cours Factorisation de polynômes de 3e degré

Factorisation d'un polynôme du troisième degré

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Fiche de cours

Factorisation d'un polynôme du troisième degré

 

Propriété

 

Soit $P$ un polynôme du troisième degré défini pour tout $x \in \mathbb{R}$ par $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ avec $a, b, c, d$ des réels ($a \neq 0$).

Si $x_0$ est une racine du polynôme ($P(x_0) = 0$) alors $P$ se factorise sous la forme suivante

$P(x) = (x - x_0)\times Q(x)$ avec $Q$ un polynôme du second degré.

 

Exemple 

Soit $P$ un polynôme du troisième degré défini par $P(x) = x^3 + 2x^2 + x - 4$. 

On cherche à écrire ce polynôme sous la forme $(x - x_0)\times Q(x)$ où $x_0$ est une racine évidente. 

On remarque ici que la somme des coefficients vaut $0$ : ($1 + 2 + 1 - 4 = 0$), ainsi $1$ est une racine évidente. 

On peut donc écrire $P$ sous la forme $P(x) = (x - 1) \times Q(x)$. 

Comme $Q$ est un polynôme du second degré, il s'écrit sous la forme $a'x^2 + b'x + c'$, avec $a', b', c'$ trois réels ($a' \neq 0 $) qu'il s'agit de déterminer. 

Pour déterminer la valeur des coefficients, la méthode consiste tout d'abord à développer le polynôme factorisé.

$P(x) = (x - 1) (a'x^2 + b'x + c')$

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