Cours Factorisation de $x^n-1$ par $x-1$
QCM
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L'énoncé

Répondre aux questions suivantes, il n'y qu'une seule bonne réponse par question.


Tu as obtenu le score de


Question 1

Donner la forme factorisée du polynôme $P(x)=x^3-1$.

 

$P(x)=(x-1)(x^3+x^2+x+1)$

$P(x)=(x-1)(x^2+x+1)$

$P(x)=(x-1)(-x^2+x+1)$

$P(x)=(x-1)(x^2-x-1)$

On utilise la propriété du cours :

$x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+....+x^2+x+1)$ avec $n=3$

Question 2

A quel polynôme correspond la forme factorisée suivante: $P(x)=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$.

$P(x)=x^4-1$

$P(x)=x^4+1$

$P(x)=x^5-1$

$P(x)=x^3-1$

Regarde la puissance du produit des deux termes de plus au degré dans chaque membre.

Tous les coefficients du polynôme de degré $4$ sont égaux à $1$donc on est dans le cas du cours.

On reconnait la propriété du cours :

$x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+....+x^2+x+1)$ avec $n=5$

Question 3

Quel est la factorisation de $P(x)=x^3+1$.

$P(x)=(x-1)(x^2+x+1)$.

$P(x)=(x+1)(x^2+x-1)$.

$P(x)=(x+1)(x^2-x+1)$.

$P(x)=(x+1)(-x^2-x-1)$.

La racine évidente est $-1$ , il faut donc factoriser par $(x+1)$

On factorise par $(x+1)$, on a donc  $P(x)=(x+1)(ax^2+bx+c)$.

En développant cette expression et en l'identifiant au polynôme $P$, on obtient :

$P(x)= ax^3+bx^2+cx+ax^2+bx+c$

$P(x)=ax^3 +(a+b)x^2+(b+c)x+c$$

Or on sait que $P(x)=x^3+1$ ou encore $P(x)=x^3+0x^2+0x+1$

On en déduit donc le système suivant :

$\left \{ \begin{array}{rccc}a & = &1  \\ a+b&=&0 \\ b+c & = & 0  \\c & = & 1 \\\end{array} \right.$

Il se résout ainsi : $\left \{ \begin{array}{rccc}a & = &1  \\ b&=&-1 \\ c & = & 1 \\ \end{array} \right.$

Donc la factorisation est $P(x)=(x+1)(x^2-x+1)$.

Autre méthode moins délicate : développer les 4 expressions et trouver celle qui convient.

 

 

Question 4

Factoriser le polynôme $P(x)=x^8-1$.

$P(x)=(x^4-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$

$P(x)=(x^4-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$

$P(x)=(x-1)(x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$

$P(x)=(x-1)(x^7+x^6-x^5-x^4-x^3+x^2-x+1)$

On utilise la propriété du cours :

$x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+....+x^2+x+1)$ avec $n=8$

$x^8-1=(x-1)(x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$

Question 5

Le polynôme $P(x)=(x-1)(x^4+x^3-x^2+x+1)$ est-il de la forme $x^n-1$ ? Si oui, donner la valeur de $n$.

Oui, $n=3$.

Oui, $n=4$.

Oui, $n=5$.

Non.

Les coefficients du polynôme de degré $4$ ne sont pas tous égaux à $1$ donc on ne reconnait pas l'expression :

$x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+....+x^2+x+1)$