Cours Stage - Suites géométriques

Exercice - Suites géométriques : la synthèse

L'énoncé

Prendre une feuille de brouillon et rédiger chaque question. Pour rester dans l’intérêt du chapitre, essayer de résoudre ces problèmes en utilisant des suites. On donnera des valeurs approchées significatives des résultats.


Question 1

Une taupe creuse une galerie et fait des progrès. Chaque jour elle creuse 20% de plus que la veille. Sachant quelle creuse 4 m le premier jour, quelle longueur pourra t-elle creuser le 8ème jour ?

On peut modéliser ce problème par une suite géométrique.
Augmenter de 20% revient à multiplier par \(\left(1 + \dfrac{20}{100}\right)\) donc la raison de cette suite géométrique est  \(q=1,2\).
Le premier terme est \(u_1 =4 \).
On a : \(u_n=u_p \times q^{np}\).
Donc \(u_8=u_1 \times q^7\)
\(u_8 = 4 \times 1,2^7\)
\(u_8 \approx 14,3\).
La taupe pourra creuser 14m30 environ le huitième jour.

On ne demande pas la longueur totale creusée en huit jours. Attention aux unités !
Peut-on utiliser une suite pour ce problème ?
Si oui quelle serait sa nature, sa raison et son premier terme ?

Question 2

Diane est à l'université et reçoit chaque mois de l'argent de poche de ses parents. Comme ils sont généreux, ils augmentent systématiquement la somme mensuelle de $5$%. En janvier 2013, elle avait $154$€ €. Combien ses parents lui donneront-ils en octobre 2014 ?

On peut modéliser ce problème par une suite géométrique de raison \(q\) et de premier terme \(u_1 =154\).
Augmenter de 5% revient à multiplier par \(\left(1+\dfrac{5}{100}\right)\) donc la raison de cette suite géométrique est  \(q=1,05\) .
Entre janvier 2013 et octobre 2014 il y a $21$ mois $(12+9)$.
De plus, \(u_n=u_p\times q^{n-p}\).
\(u_{21} = u_1 \times (q)^{20}\)
\(u_{21} = 154 \times 1,05^{20}\)
Soit : \(u _{21} \approx 409\) euros.
Diane recevra environ $409$ euros en octobre 2014.

Compter le nombre de mois.
Peut-on utiliser une suite pour ce problème ?
Si oui quelle serait sa nature, sa raison et son premier terme ?

Question 3

La grand-mère de Henri gâte beaucoup trop ses chats et perd chaque année $3$ % de sa fortune. En 2001, elle possédait $258 900$ euros. Combien possédait-elle en 2013 ?

On peut modéliser ce problème par une suite géométrique.
Diminuer de $3$% revient à multiplier par \(\left(1-\dfrac{3}{100}\right)\) donc la raison de cette suite géométrique est \(q=0,97\) .
Son premier terme est \(u_1 = 258900\). Entre 2001 et 2013, il y a 12 années.
Ainsi :\( u_n=u_p \times q^{n-p}\)
\(u_{13} = u_1 \times q^{12}\)
\(u_{13} = 258900 \times 0,97^{12}\)
\(u_{13} \approx 179636\).
La grand-mère possédait donc environ $179 636$ euros en 2013.

Compter le nombre de mois.
Peut-on utiliser une suite pour ce problème ?
Si oui quelle serait sa nature, sa raison et son premier terme ?

Question 4

Nicolas a gagné 130 000 euros au loto en janvier 2011, ce sont là toutes ses économies. Sa passion est hélas le casino mais il n'a ni chance ni talent. Il perd $2 000$€ € la première année et ses pertes augmentent de $10$% chaque année. Combien va-t-il perdre en 2015 ?

On peut modéliser ce problème par une suite géométrique.
Augmenter de $10$% revient à multiplier par \(\left(1+\dfrac{10}{100}\right)\) donc la raison de cette suite géométrique est \(q=1,1\) .
Le premier terme \(u_1 = 2000\). C'est la valeur de sa première perte.
Calculons \(u_5\) la valeur théorique de ses pertes en 2015.
\(u_n=u_p \times q^{np}\)
\(u_5 = 2000 \times 1,1^4\)
\(u_5 \approx 2928\)
Il perdra donc environ $2 928$ euros en 2015.

Si ses pertes augmentent, il perd de plus en plus chaque année.
Peut-on utiliser une suite pour ce problème ?
Si oui quelle serait sa nature, sa raison et son premier terme ?

Question 5

Il y a six bols sur la table du petit déjeuner. Dans le premier, il n'y a qu'une seule céréale. Dans le second, il y en a cinq fois plus. Dans le troisième, cinq fois plus que dans le second, etc.

… Combien y a-t-il de céréales dans le sixième bol ?

On peut modéliser ce problème par une suite géométrique.
Chaque bol contient cinq fois plus de céréales que le précédent donc la raison est \(q=5\).
Le premier terme est \(u_1 =1\).
On a : \(u_n=u_1 \times q^{n-1}\)
Ainsi : \(u_6 = u_1 \times q^5\)
\(u_6 = 1 \times 5^5\)
\(u_6 = 3125\)
Le sixième bol contiendra donc $3 125$ céréales.

Peut-on utiliser une suite pour ce problème ?
Si oui quelle serait sa nature, sa raison et son premier terme ?