Cours Sommes de termes de suites arithmétiques et géométriques
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Question 1

Pour tout entier \(n\), on considère la suite arithmétique de raison $5$ et de premier terme \(u_0 = -1\). On note \(S\) la somme des $6$ premiers termes.

On a alors :

S = \(u_0+ u_1+ u_2+ u_3+ u_4+ u_5\)
S = \(u_0+ u_1+ u_2+ u_3+ u_4+ u_5+ u_6\)
$S = 69$
$S = 138$
C’est une application de la formule du cours à connaître par cœur.
C’est une application de la formule du cours à connaître par cœur.
On a :
\(S = u_0+ u_1+ u_2+ u_3+ u_4+ u_5\)
\(S = \dfrac{6\times(u_0+u_5)}{2}\)
Or on sait que \(u_5=u_0 +5r\)
Ainsi :
\(S = \dfrac{6\times(u_0+u_0 +5r)}{2}\)
\(S = \dfrac{6\times(-1-1+5\times5)}{2}\)
\(S = 3\times(23)\)
\(S = 69\)

Question 2

Pour tout entier \( n\), on considère la suite arithmétique de raison \(-2\) et de premier terme \( u_0 = 4\). On note \(S\) la somme des 5 premiers termes.

On a alors :

\(S = u_0+ u_1+ u_2+ u_3+ u_4+ u_5\)
\(S = u_0+ u_1+ u_2+ u_3+ u_4\)
\(S = 4\)
\(S = 0\)
Attention au premier terme : c’est \(u_0\).
Du coup le cinquième terme est ?
Comment exprimer \(u_4\) en fonction de \(u_0\) ?
C’est une application de la formule du cours à connaître par cœur.
On a :
\(S = u_0+ u_1+ u_2+ u_3+ u_4\)
\(S = 5\times\dfrac{(u_0+u_4)}{2}\)
Or on sait que \(u_4=u_0 +4r\)
Ainsi :
\(S = 5\times\dfrac{(u_0+u_0+4r)}{2}\)
\(S = 5\times\dfrac{(4+4+4\times (-2))}{2}\)
\(S = 0\)

Question 3

Pour tout entier \(n\) non nul, on considère la suite arithmétique de raison \(\dfrac{1}{2}\) et de premier terme \(u_1 = 1\).

On note \(S\) la somme des 4 premiers termes. On a alors :

\(S = u_1+ u_2+ u_3+ u_4 + u_5\)
\(S = u_1+ u_2+ u_3+ u_4\)
\(S=\dfrac{7}{2}\)
\(S = 7\)
Attention au premier terme : c’est \(u_1\).
Du coup le quatrième terme est ?
Comment exprimer \( u_4\) en fonction de \( u_1\) ?
C’est une application de la formule du cours à connaître par cœur.
On a : \(S = u_1+ u_2+ u_3+ u_4\)
\(S = 4\times\dfrac{(u_1+u_4)}{2}\)
Or on sait que : \( u_4=u_1+3r\)
Ainsi :
\(S = 4\times\dfrac{(u_1+u_4)}{2}\)
\(S = 4\times\dfrac{(1+1+3\times\dfrac{1}{2})}{2}\)
\(S = 2\times\dfrac{7}{2}\)
\(S = 7\)

Question 4

Pour tout entier \(n\) non nul, on considère \((u_n)\), une suite arithmétique vérifiant \(u_1=4\) et \(u_6=10\).

On pose \(S_k = u_1+ u_2 +…..u_k \) avec \(k\) entier non nul. Calculer \(S_6\).

\(S_6 =42\)
\(S_6 =56\)
\(S_6 =160\)
\(S_6 =44\)
Combien de termes a cette somme ?
Utiliser la formule du cours pour conclure.
\(S_k =nombre \ de \ termes\times\dfrac{ (1er \ terme + dernier \ terme)}{2}\)
On a :
\(S_6 =nombre \ de \ termes\times\dfrac{ (1er \ terme + dernier \ terme)}{2}\)
\(S_6 =\dfrac{6(u_1 +u_6)}{2}\)
\(S_6 =\dfrac{6\times 14}{2}\)
\(S_6 =42\)

Question 5

Pour tout entier \(n\) non nul, on considère \((u_n)\) une suite arithmétique vérifiant \(u_1=4\) et \(u_{11}=24\).

On pose : \(S_k = u_1+ u_2 +…..u_k \) avec \(k\) entier non nul. Calculer \(S_8\).

\(S_8=18\)
\(S_8=176\)
\(S_8=88\)
\(S_8=66\)
On a besoin du premier et du dernier terme de cette somme.
Pour trouver le dernier terme, \(u_8\), il nous faut ?
La raison de la suite.
\(S_8 =nombre \ de \ termes\times\dfrac{ (1er \ terme + dernier \ terme)}{2}\)
\(S_8 =\dfrac{8\times(u_1+ u_8)}{2}\)
On ne connaît pas \(u_8\). Pour le trouver, cherchons la raison \(r\) de la suite.
On a : \(u_{11} = u_1 + 10r \)
\(24 = 4 + 10r\)
\(r=2\)
Finalement, \(u_8 = u_1 + 7r = 4 + 7\times2 = 18\)
On en déduit que :
\(S_8 =\dfrac{8\times(u_1+ u_8)}{2}\)
\(S_8 =\dfrac{8\times(4 + 18)}{2}\)
\(S_8 =88\)