Cours Stage - Résolution d'équations trigonométriques

Exercice - Valeurs remarquables, équations et simplifications

L'énoncé

On considère l'expression \(A(x)\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(A(x) = \cos(\pi + x) + 4\sin(\frac{\pi}{2} + x) + \cos(5\pi – x)\)


Question 1

Calculer \(A(0)\).

\(A(0) = \cos(\pi ) + 4\sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(5\pi) \)

\(A(0) = -1 +4 -1\)

\(A(0)= 2\)

Remplace \(x\) par \(0\) !

Question 2

Calculer \(A\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\).

\(A\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos(\frac{3\pi}{2} ) + 4\sin(\pi) + \cos(\frac{9\pi}{2}) \)

\(A\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0+0+0\)

\(A\left(\dfrac{\pi}{2}\right)= 0\)

Remplace \(x\) par \(\frac{\pi}{2}\) !

Question 3

Simplifier l'expression \(A(x)\).

Pour tout réel \(x\) on a :

\(A(x) = \cos(\pi + x) + 4\sin(\frac{\pi}{2} + x) + \cos(5\pi x)\)

\(A(x) = - \cos(x) + 4\cos(x) - \cos( x)\)

Finalement : \(A(x) = 2 \cos(x)\)

\(\cos(\pi + x) = - \cos(x)\)


\(\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos(x)\)


\(\cos(5\pi – x) = -\cos(x)\)

Question 4

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) l'équation \(A(x) = - 1\).

On sait que : \(A(x) = 2 \cos(x)\)

Ainsi : \(A(x) = - 1 \Leftrightarrow \cos(x) = -\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow \cos(x) = \cos(\frac{2\pi}{3}) \)

\( \Leftrightarrow x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\) avec \(k \in \mathbb{Z}\)   et   \(x = \dfrac{- 2\pi}{3} + 2k'\pi\) avec \(k' \in \mathbb{Z}\).

L'ensemble des solutions sur \(\mathbb{R}\) de \(A(x) = - 1\) est :

\(S = \left\{\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi ; -\dfrac{2\pi}{3}+ 2k'\pi\ \ , k\in \mathbb{Z}\right\}\).

Utilise l'expression de \(A(x)\) obtenue à la question 3.


Transforme l'équation de façon à te ramener à celle du cours : \(\cos(x) = \cos(a)\) au lieu de \(2\cos(x)=\cos(a)\)


\(\cos(\frac{2\pi}{3}) = - \frac{1}{2}\)


Ensuite il s'agit d'une équation trigonométrique classique.

Question 5

Résoudre sur \([0; \pi]\) l'équation \(A(x) = \sqrt{3}\).

On sait que : \(A(x) = 2 \cos(x)\)

Ainsi : \(A(x) =\sqrt{3}\)

\( \Leftrightarrow \cos(x) =\dfrac{\sqrt3}{2}\)

\( \Leftrightarrow \cos(x) = \cos(\frac{\pi}{6}) \)

\(\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\) et \(k \in \mathbb{Z}\) et \(x = -\dfrac{\pi}{6} + 2k'\pi\) et \(k' \in \mathbb{Z}\)

Etudions les deux solutions :

\(x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\) et \(k \in \mathbb{Z}\) donne :

pour \(k = 0 : x = \dfrac{\pi}{6}\)

pour \(k = 1 : x = \dfrac{\pi}{6}+2\pi\) : c'est supérieur à \(\pi\), donc n'appartient pas à \([0;\pi]\)

pour \(k = -1 : x = \dfrac{\pi}{6} -2\pi\) : c'est négatif donc \(\notin [0;\pi]\)


\(x = -\dfrac{\pi}{6} + 2k'\pi\) et \(k' \in \mathbb{Z}\) ne donne aucune solution dans \([0;\pi]\)

L'ensemble des solutions sur \([0;\pi]\) de \(A(x) = - 1\) est \(S = \left\{\dfrac{\pi}{6}\right\} \).

Utilise l'expression de \(A(x)\) obtenue à la question 3.


Transforme l'équation de façon à te ramener à celle du cours : \(\cos(x) = \cos(a)\)


\(\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)


Ensuite résous l'équation sur \(\mathbb{R}\) puis sur \([0;\pi]\)

Question 6

Résoudre sur \([0; \pi]\) l'inéquation \(A(x) \le 1\).

On sait que : \(A(x) = 2 \cos(x)\)

Ainsi : \(A(x) \leq 1 \Leftrightarrow \cos(x) \leq \dfrac{1}{2}\)

Comme on résout l'équation sur \([0;\pi]\) on ne s'intéresse qu'au demi-cercle supérieur.

On repère sur l'axe des abscisses la valeur \(\dfrac{1}{2}\); elle correspond au cosinus de \(\dfrac{\pi}{3}\).

On cherche les réels \(x\) dont le cosinus est inférieur ou égal à \(\dfrac{1}{2}\) donc l'ensemble des solutions (en vert) est :

\(S = \left[\dfrac{\pi}{3} ; \pi\right]\).

Ces inéquations se résolvent graphiquement.


Commence par te ramener à une inéquation du type \(cos(x) \le \cos(a)\).


Ensuite utilise le cercle trigonométrique pour trouver les réels de \([0;\pi]\) dont le cosinus est inférieur ou égal à \(\frac{1}{2}\) sans perdre de vue que \(\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\)