Cours Stage - Relation de conjugaison et grandissement

Exercice - Photographie

L'énoncé

SANS CALCULATRICE

Jérémy s’est promené dimanche dernier sur les Champs-Élysées. Il s’était muni d’un appareil photographique possédant un objectif de distance focale $f ' = 70 mm$ et dont le capteur a pour dimensions 24 x 36 mm.

Aide aux calculs :

$80 \times 0,288 \approx 23$

$35,7 \times 2,88 \approx 102,88$


Question 1

Jérémy prend d’abord de loin une image de l’Arc de Triomphe, de hauteur $h = 50,0 m.$

Quelle est la distance capteur-objectif dans ces conditions ?

On peut considérer que $\overline{0A}$ est infini.On peut donc dire :

$ \frac{1}{f'} = \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} \approx \frac{1}{\overline{OA'}} \to \overline{OA'} = f' = +70mm$

On peut considérer que $\overline{0A}$ est infini. Qu’est-ce que cela implique ?

Question 2

Quelle devra être la distance objectif - monument pour obtenir, sur le capteur, une image de l’Arc de Triomphe de $35 mm$ de haut (cadrage vertical du capteur) ?

Le grandissement vaut $ \frac{A'B'}{AB} = \frac{OA'}{OA}$. On a donc :

$OA = OA' \times \frac{AB}{A'B'} = 70 \times 10^{-3} \times \frac{50}{35 \times 10^{-3}} = 100m$

On doit utiliser le grandissement, qui vaut $ \frac{A'B'}{AB} = \frac{OA'}{OA}$

Question 3

Préciser les caractéristiques de l’image du monument.

L’image $A’B’$ est réelle, inversée, et plus petite que l’objet $AB.$

Question 4

Jérémy décide à présent de photographier un drapeau de la France, présent sur les Champs-Élysées. Le drapeau est contenu dans un carré de 80 cm de côté. L’image du drapeau sur le capteur est inscrite dans un carré de 23 mm de côté.

Calculer le grandissement du dispositif dans ces conditions.

Le grandissement  vaut $ \frac{A'B'}{AB} = \frac{23 \times 10^{-3}}{80 \times 10^{-2}} = -0,0288$

Question 5

Exprimer $\overline{OA}$, où $A$ est un point objet, en fonction de $f’$ et du grandissement.

$ \frac{1}{f'} = \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}}$ et $\overline{OA'}$ est le produit du grandissement $\gamma$ et de $\overline{OA}$.

On a donc $ \frac{1}{f'} = \frac{1}{\gamma \times \overline{OA}} - \frac{1}{\overline{OA}}$ et $\frac{1}{f'} = \frac{\overline{OA}-\gamma \times \overline{OA}}{\gamma (\overline{OA})^2} = \frac{1-\gamma}{\gamma \times \overline{OA'}}$ d'où $\overline{OA} = \frac{1-\gamma}{\gamma} \times f'$

On sait que $ \frac{1}{f'} = \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}}$


... et que $\overline{OA'}$ est le produit du grandissement $\gamma$ et de $\overline{OA}$.

Question 6

Calculer la valeur numérique de $\overline{OA}.$

$\overline{OA} = \frac{1-\gamma}{\gamma} \times f' = \frac{1+0,0288}{(-0,0288)} \times 70 \times 10^{-3} = -2,5m$

Question 7

En déduire l’expression de $\overline{OA'}$, où $A’$ est un point image, en fonction de $f’$ et du grandissement, puis sa valeur.

$\overline{OA'} = \gamma \times \overline{OA} = (1 - \gamma) f' = (1 + 0,0288 ) \times 70 \times 10^{-3} = 7,2 \times 10^{-2}$