Somme et produit de racines d’un trinôme

Somme et produit de racines d'un trinôme

Déterminer deux nombres réels connaissant leur somme et leur produit

 

I) Propriété : 

Si deux nombres $a$ et $b$ ont pour somme $S$ et pour produit $P$ alors ils sont solutions de l’équation $x^2 – Sx + P = 0$.

Preuve :

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $left \{ \begin{array}{l} a + b = S \ a \times b = P \end{array} right.$

On sait que $a$ et $b$ sont solutions de l’équations $(x – a)(x-b) = 0$. 

En développant cette équation, on trouve alors que $x^2 – ax -bx + ab = 0$ ou encore $x^2 – (a + b)x + ab = 0$. 

Cela revient ainsi à dire que $a$ et $b$ sont solutions de l’équations $x^2 – Sx + P = 0$. 

 

II) Application

 

Exemple 1:

On cherche à connaitre les dimensions d’un rectangle qui vérifie les conditions suivantes :

Son aire mesure 192 cm$^2$ et son périmètre mesure 64 cm. 

Les inconnues du problèmes sont donc $L$ la longueur et $l$ la largeur et vérifient :

$left \{ \begin{array}{l} Ltimes l = 192  \ 2times(L + l) = 64 \end{array} right.$ ou encore $left \{ \begin{array}{l} Ltimes l = 192  \ L + l = 32 end{array} right.$

Comme précédemment, on sait que $L$ et $l$ sont solutions de l’équation $(x – L)(x – l) = 0$ qui peut se réécrire sous la forme :

$x^2 – (L + l)x + ltimes L = 0$ soit en remplaçant par les valeurs numériques $x^2 – 32x + 192 = 0$. 

On calcule alors le discriminant de cette équation du second degré :

$Delta = 32^2 – 4 \times 192 = 1024 – 768 = 256 = 16^2$. 

Les racines de l’équation sont donc

$x_1 = \dfrac{32 – \sqrt{256}}{2} = \dfrac{32 – 16}{2} = 8$  et  $x_2 = \dfrac{32 + \sqrt{256}}{2} = \dfrac{32 + 16}{2} = 24$.

Les inconnues $L$ et $l$ étant solution de l’équation, on a donc $L = 24$cm et $l = 8$cm. 

 

Exemple 2 :

Quels sont les deux nombres dont la somme vaut 7 et le produit vaut 10 ? 

On applique la même méthode que précédemment. 

Les inconnues du problèmes sont donc $x_1$ et $x_2$ et vérifient

$left \{ \begin{array}{l} x_1times x_2 = 10  \ x_1 + x_2 = 7 end{array} right.$

On sait que $x_1$ et $x_2$ sont solutions de l’équation $(x – x_1)(x – x_2) = 0$ qui peut se réécrire sous la forme :

$x^2 – (x_1 + x_2)x + x_1times x_2 = 0$ soit en remplaçant par les valeurs numériques $x^2 – 7x + 10 = 0$. 

On calcule alors le discriminant de cette équation du second degré :

$Delta = 7^2 – 4 \times 10 = 49 – 40 = 9 = 3^2$. 

Les racines de l’équation sont donc :

$x_1 = \dfrac{7 – \sqrt{9}}{2} = \dfrac{7 – 3}{2} = 2$  et $x_2 = \dfrac{7 + \sqrt{9}}{2} = \dfrac{7 + 3}{2} = 5$.

Les nombres dont la somme vaut $7$ et le produit $10$ sont donc $2$ et $5$.