Exercice - Convergence d'une suite récurrente

$D_f = ]-\infty;-2[\;\cup\;]-2;+\infty[$

On factorise pour $x \notin \{0;-2\} $ l'expression de $f(x) = \frac{3x+7}{2+x} $

$f(x)= \frac{x(3+\frac{7}{x})}{x(\frac{2}{x}+1)} = \frac{3+\frac{7}{x}}{\frac{2}{x}+1}$

En faisant tendre $x$ vers $\pm\infty$, $f(x) \to \frac{3+0}{0+1}=3$

En faisant tendre $x$ vers $-2$, $f(x)$ est de la forme $"\frac{-1}{0}"$. Donc en $-2^+$ soit en approchant par valeur supérieure, $f$ tend vers $-\infty$ et en $-2^-$ soit en approchant par valeur inférieure, $f$ tend vers $+\infty$.

Finalement,

$\lim_{x\to+\infty} f(x) =3$

$\lim_{x\to-\infty} f(x) =3$

$\lim_{x\to-2^+} f(x) =-\infty$

$\lim_{x\to-2^-} f(x) =+\infty$

$\lim_{x\to-2^+} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x\to-2^-} f(x) = +\infty$ donc la droite d'équation $x=-2$ est asymptote verticale à $C_f$

$\lim_{x\to+\infty} f(x) = 3$ et $\lim_{x\to-\infty} f(x) = 3$ donc la droite d'équation $y=3$ est asymptote horizontale à $C_f$ en $+\infty$ et $-\infty$.

$f$ est dérivable sur $D_f$

$\forall \; x \in \mathbb{R} \setminus \{-2\}, f'(x)=-\frac{1}{(2+x)^2}<0$

En calculant les premiers termes, on se rend compte que $(u_n)$ est positive. Prouvons ce résultat.

$u_0 \geq 0$

$\forall \; x \in \mathbb{R+} , f(x) \geq 0$ donc $u_1=f(u_0) \geq 0$

De la même façon, $u_2 = f(u_1)$ et $u_1 \geq 0$ donc $u_2 \geq 0$

Avec un raisonnement par récurrence, on déduit que $u_n$ est positif pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$.

On applique le résultat de la vidéo de cours.

On sait alors que $f(l)=l$, donc $\frac{3l+7}{2+l}=l$

L'équation donne $l^2+l-3=0$.

On calcule le discriminant $\Delta=13$

Alors, les solutions sont $x_1=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$ et $x_2=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$

$x_1<0$ et on sait que $(u_n)$ est positive, donc on ne retient que $x_2$.

Finalement, $l = x_2 = \frac{-1+\sqrt{13}}{2}$