Cours Ancien programme
Exercice d'application

Exercice : PGCD

Un carreleur doit poser le carrelage dans une pièce rectangulaire mesurant 6,48 m de large sur 13,50 m de long. Il souhaite poser des carreaux de carrelage carré et ne faire aucune découpe.

1) Peut-il poser des carreaux de 27 cm de côté ? Justifier votre réponse.

2) Peut-il poser des carreaux de 50 cm de côté ? Justifier votre réponse.

3) Tâche complexe. On lui demande désormais de poser des carreaux carré les plus grands possibles. Le paquet de 20 carreaux carré de cette taille coûte 65€. Combien va coûter le carrelage pour cette pièce ? Toutes les traces de recherche doivent apparaître sur votre copie et seront valorisées !

1) Il doit y avoir un nombre entier de carreaux de 27 cm de côté en longueur comme en largeur. Il faut donc vérifier si 27 est un commun diviseur de 1 350 et de 648 (on n'oublie pas d'ajuster les unités en convertissant les mètres en centimètres).

$1350 ÷ 27 = 50$

$648 ÷ 27 = 24$

On peut poser un nombre entier de carreaux de 27 cm en longueur comme en largeur, donc le carreleur peut poser des carreaux de 27 cm de côté.

 

 

2) Même méthode : $1350 ÷ 50 = 27$

$648 ÷ 50 = 12,96$

Il n'y aurait pas un nombre entier de carreaux dans la largeur de la pièce : le carreleur serait obligé de découper un carreau, ce qu'il ne veut pas faire, donc il ne peut pas poser de carreaux de 50 cm de côté.

 

 

3) On cherche d'abord le PGCD de 1 350 et 648 par la méthode de l'algorithme d'Euclide : 

$1350 = 2×648 + 54$

$648 = 12×54 + 0$

PGCD (1350; 648) = 54. Les carreaux les plus grands que peut poser le carreleur ont donc des côtés de 54 cm.

On cherche ensuite le nombre total de carreaux que le carreleur va poser :

 

- dans la longueur : $1350 ÷ 54 = 25$

 

- dans la largeur : $648 ÷ 54 = 12$

 

- pour toute la pièce : $12×25 = 300$.

 

 

Il y aura donc 300 carreaux à poser en tout. Reste à trouver le prix total : on aura $300 ÷ 20 = 15$ paquets de 20 carreaux. Chaque paquet coûtant 65€, le prix total sera :

$P = 15×65 = 975€$.

Le carrelage pour cette pièce va donc coûter 975€.