Cours Stage - Développer : double distributivité

Exercice - Double distributivité (Développer et Réduire)

L'énoncé

Développer puis réduire des expressions de type : $(a+b)(c+d)$


Question 1

Développer et réduire l’expression suivante : $E=(4+x)(2x+10)$

 

Dans un premier temps, utiliser la propriété de la double distributivité qui nous dit que : $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$

Dans un second temps, effectuer chacun des quatre produits.

Dans un troisième temps, réduire en utilisant le moins de termes possibles.

 

On obtient donc : 

$E=(4+x)(2x+10)\\E=(4\times2x)+(4\times10)+(x\times2x)+(x\times10)\\E=8x+40+2x^2+10x\\E=18x+2x^2+40$

Penser à utiliser la propriété de la double distributivité.


Réduire, c'est utiliser le moins de termes possibles. Penser à additionner les facteurs de $x$ ensemble. 

Question 2

Développer et réduire l’expression suivante :
$H=(3x+4)(2x+5)$

On obtient :
$H=(3x+4)(2x+5)\\H=(3x\times2x)+(3x\times5)+(4\times2x)+(4\times5)\\H={6x}^2+15x+8x+20\\H={6x}^2+23x+20$

Penser à utiliser la propriété de la double distributivité.

Question 3

Développer et réduire l’expression suivante :
$G=(5+3x)(5x+3)$

 

On obtient :
$G=(5+3x)(5x+3)\\G=(5\times5x)+(5\times3)+(3x\times5x)+(3x\times3)\\G=25x+15+{15x}^2+9x\\G={15x}^2+34x+15$

Penser à utiliser la propriété de la double distributivité.

Question 4

Factoriser l’expression suivante :
$L=(2x+3)(5y-2)+(3y+4)(2x+3)$

Le but de la factorisation est de trouver un facteur commun entre les termes de l’expression, c’est à dire un nombre ou une expression qui soit multiple de chacun des termes.

Dans des expressions de ce type le facteur commun est bien visible. Il s'agit de $(2x+3)$ qui est facteur de $(5y-2)$ et de $(3y+4)$.

On obtient donc :
$L=(2x+3)(5y-2)+(3y+4)(2x+3)\\L=(2x+3)\times[(5y-2)+(3y+4)]\\L=(2x+3)[5y-2+3y+4]\\L=(2x+3)(8y+2)$

 

Trouver dans l'expression le terme récurrent.

Question 5

Factoriser l’expression suivante :
$I=(4x+8)(5y+5)+(2x+4)(3y+1)$

 

 Dans ce type d'expression, il faut trouver le facteur commun entre les deux termes de la somme, c'est-à-dire ici entre $(4x+8)(5y+5)$ et $(2x+4)(3y+1)$.
En observant ces deux termes, remarquer que $(4x+8)$ est un multiple de $(2x+4)$ et peut s'écrire $(4x+8)=2\times(2x+4)$

Le facteur commun de l'expression est donc $(2x+4)$

On obtient donc :


$I=(4x+8)(5y+5)+(2x+4)(3y+1)\\I=2\times(2x+4)(5y+5)+(2x+4)(3y+1)\\I=(2x+4)\times[2\times(5y+5)+(3y+1)]\\I=(2x+4)[10y+10+3y+1]\\I=(2x+4)(13y+11)$

Trouver le facteur commun entre les deux termes de la somme.


Remarquer que $(4x+8)$ est un multiple de $(2x+4)$.