Cours L'incontournable du chapitre
Exercice d'application

Exercice : Thalès, Pythagore

Un fabricant d'enseignes lumineuses doit réaliser la lettre Z (en tubes de verre soudés) pour la fixer sur le haut d'une vitrine. Voici le schéma donnant la forme et certaines dimensions de l'enseigne :

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Les droites $(AD)$ et $(BC)$ se coupent en $O$.

1) Sachant que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, calculer la longueur $OB$.

2) Démontrer que le tube $[BC]$ est perpendiculaire à la droite $(AD)$.

3) Calculer la mesure de l’angle $OCD$ (vous donnerez une valeur arrondie au degré près).

1) On considère les triangles $AOB$ et $OCD$, on a :

$A \in (OD) ; \ B \in (OC)$ et $(AB)\ // \ (CD)$ ; donc d’après le théorème de Thalès :

$\dfrac{AO}{OD}=\dfrac{OB}{OC}=\dfrac{AB}{CD}$ soit

$\dfrac{5}{9}=\dfrac{OB}{12}$

Donc  : $OB = \dfrac{5\times 12}{9}$

Finalement :  $OB =\dfrac{20}{3}$ dm. 

 

2) On considère le triangle $OCD , \ [CD]$ est le plus grand côté :

$CD^2=15^2=225$

$OC^2+OD^2=12^2+9^2=144+81=225$

Donc $CD^2= OC^2+OD^2$

Ainsi, d’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle $OCD$ est rectangle en $O$.

On en déduit que $(OC)$ est perpendiculaire à $(OD)$.

Or $A,O,D$ sont alignés ainsi que $B, O, C$ donc le tube $[BC]$ est perpendiculaire à la droite $(AD)$.

 

3) Dans le triangle $OCD$ rectangle en $O$, on peut écrire :

$cos(\widehat{OCD})=\dfrac{OC}{CD}$

Soit : $cos(\widehat{OCD}) =\dfrac{12}{15}$

Donc : $\widehat{OCD}\approx 37°$ (arrondi au degré près).