Cours L'incontournable du chapitre
Exercice d'application

Exercice : Grandeurs composées

Une commune étudie l’implantation d’une éolienne dans le but de produire de l’électricité.

 

Partie 1 : Courbe de puissance d’une éolienne

La puissance fournie par l’éolienne dépend de la vitesse du vent.

Lorsque la vitesse du vent est trop faible, l’éolienne ne fonctionne pas.

Lorsque la vitesse du vent est trop importante, par sécurité, on arrête volontairement son fonctionnement.

Pour le modèle choisi par la commune, on a tracé la courbe représentant la puissance fournie, en kW, en fonction de la vitesse du vent en m/s.


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1) Utiliser ce graphique pour répondre aux questions suivantes :

a) Quelle vitesse de vent doit-il atteindre pour que l’éolienne fonctionne ?

b) Indiquer une vitesse de vent pour laquelle la puissance de l’éolienne est au moins de 200 kW.

c) La puissance fournie par l’éolienne est-elle proportionnelle à la vitesse du vent ? Justifier la réponse.

 

2) On arrête l’éolienne lorsque le vente souffle à plus de 25 m/s. Exprimer cette vitesse en km/h.

 

Partie 2 : Puissance et longueur de pales

Les trois pales de l’éolienne décrivent un disque en tournant. On considère que la longueur des pales est le rayon de ce disque.

1) On donnera les valeurs exactes des résultats suivants :

a) Calculer l’aire $A_1$ de ce disque avec des pales de 44 m.

b) Même question avec des pales de 66 m.

 

2) On admet que la puissance électrique récupérable de l’éolienne est proportionnelle à l’aire du disque décrit par les pales.

Par quel nombre va-t-on multiplier la puissance fournie si on utilise des pales de 66 m au lieu de 44 m ?

  

Partie 3 : Énergie d’une éolienne

Pour calculer l’énergie on rappelle la formule suivante : $E = P \times t$. Dans les calculs suivants, on prendra 365 jours pour 1 an.

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1) Calculer l’énergie E (en Wh) fournie par une éolienne de puissance $5 \times 10^6$ W pour 1 an de fonctionnement. Donner le résultat sous la forme d’une écriture scientifique.

2) Une éolienne a fourni une énergie de $7,5 \times 10^{10}$ Wh pour 3 ans de fonctionnement. Calculer la puissance de l’éolienne en kW. Arrondir le résultat à l’unité près.

3) Une maison consomme en moyenne 1600 kWh en une année. Combien de maisons peut alimenter une éolienne de puissance 225 kW en une année ?

Partie 1

1) a) Pour que l’éolienne fonctionne, le vent doit atteindre une vitesse d’au moins 4 m/s.

b) Pour que la puissance de l’éolienne soit au moins de 200 kW, le vent peut avoir une vitesse d’au moins 9 m/s.

c) La courbe représentant la puissance fournie par l’éolienne en fonction de la vitesse du vent ne représente pas un droite passant par l’origine du repère donc ces deux grandeurs ne sont pas proportionnelles.

 

2) $25m/s = 0, 025 km/s = 0,025 \times 3600 km/h = \textbf{90 km/h}$ 

  

Partie 2

1) a) La formule de l’aire d’un disque est : $\pi r^2$ soit $A_1 = \pi \times 44^2$

$A_1 = 1936 \pi m^2$                

b) $A_2 = \pi \times 66^2$

$A_2 = 4356 \pi m^2$

 

2) La puissance est proportionnelle à l’aire du disque.

Lorsqu’on utilise des pales de 66m au lieu de 44m, l’aire varie de $1936 \pi (A_1)$ à $4356 \pi (A_2)$.

Or $\dfrac{4356 \pi}{1936 \pi}  = 2,25$.

Donc la puissance est aussi multipliée par 2,25.

 

Partie 3  

$E = P \times t$

1) $E = 5 \times 10^6 \times 365  \times 24$

Donc $E = 4,38 \times 10^{10}$ Wh

 

2) $P = \dfrac{E}{t}$

Donc $ P = \dfrac{7,5 \times 10^{10}}{3 \times 24 \times 365} \approx  2 853 881W$ soit $\approx \textbf{2 854 kW}$

 

3) En une année une éolienne de puissance 225 kW produit une énergie de $225 \times 24 \times 365$ soit 1 971 000 kWh.

Donc si une maison consomme 1600 kWh, cette éolienne pourra alimenter 1 971 000 /1600 soit 1231 maisons.