Vecteurs, coordonnées, colinéarité

Coordonnées de vecteurs

Coordonnées de vecteurs

 

Définition

 

On se place dans le repère $(O, overrightarrow{i}, overrightarrow{j})$ où $overrightarrow{i}$ et $overrightarrow{j}$ sont des vecteurs unitaires c’est à dire ayant une norme égale à 1.

Le vecteur $overrightarrow{i}$ donne l’unité sur l’axe des abscisses alors que le vecteur $overrightarrow{j}$ donne l’unité sur l’axe des ordonnées.

 

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On cherche les coordonnées du vecteur $overrightarrow{AB}$.

Pour cela, il s’agit de se demander par quelle translation on passe de $A$ vers $B$.

On exprime donc le déplacement de $A$ vers $B$ en utilisant uniquement les vecteurs unitaires du repère.

Ainsi, se déplace t-on 4 fois selon la direction du vecteur $overrightarrow{i}$ et une fois dans celle du vecteur $overrightarrow{j}$. 

En se déplaçant dans le sens inverse d’un vecteur unitaire, un signe négatif apparait devant le coefficient.

On peut donc écrire :

$overrightarrow{AB} = 4 overrightarrow{i} + 1 overrightarrow{j}$. 

Ainsi, les coordonnées de $overrightarrow{AB}$ sont $overrightarrow{AB} \left ( \begin{array}{c} 4 \ 1 \end{array} \right )$ ou encore $overrightarrow{AB} (4; 1)$. 

 

Regardons de même le vecteur $overrightarrow{OC}$.

Le quadrilatère $ABCO$ formant un parallélogramme, les vecteurs $overrightarrow{AB}$ et $overrightarrow{OC}$ sont donc égaux.

On se propose de le vérifier à l’aide des coordonnées. En regardant le chemin pour aller de $O$ à $C$, on peut écrire que

$overrightarrow{OC} =  4 overrightarrow{i} + 1 overrightarrow{j}$

Ainsi on peut conclure que $overrightarrow{AB} = overrightarrow{OC}$ : deux vecteurs peuvent être égaux même si ils \ne sont pas dessinés au même endroit. 

 

Propriétés : 

 

Soient $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$ deux points,

Alors $overrightarrow{AB}left ( \begin{array}{c} x_B – x_A \ y_B – y_A \end{array} \right )$.

On pretera une importance à bien respecter l’ordre dans les soustractions. 

 

Dans notre exemple, on a $A(-1; 1)$ et $B(3; 2)$, ainsi $overrightarrow{AB}left ( \begin{array}{c} 3 – (-1) \ 2 – 1 end{array} \right )$ c’est à dire $overrightarrow{AB}left ( \begin{array}{c}4 \ 1 end{array} \right )$, on retrouve donc le résultat précédent. 

 

Soient $overrightarrow{u}left ( \begin{array}{c} x \ y end{array} \right )$ et $overrightarrow{v}left ( \begin{array}{c} x’ \ y’ \end{array} \right )$ deux vecteurs,

alors $overrightarrow{u} + overrightarrow{v} = left ( \begin{array}{c} x + x’ \ y + y’ \end{array} \right )$
et pour $lambda \in mathbb{R}, lambda overrightarrow{u} =  left ( \begin{array}{c} \lambda x \ \lambda y \end{array} \right )$

Translations et vecteurs

Translations et vecteurs

 

Définition 

 

La translation qui transforme $A$ en $B$ est l’unique transformation qui transforme un point $C$ en un point $D$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme ou bien tel que $[AD]$ et $[BC]$ ont même milieu. 

La translation peut également être vue comme un glissement de $A$ vers $B$ : ce glissement s’effectue selon une certaine direction, avec un certain sens et selon une certaine longueur. 

On passe donc de $A$ vers $B$ par la translation de vecteur $overrightarrow{AB}$ et de $C$ vers $D$ par la même translation. 

Cette translation est notée $t_{overrightarrow{AB}}$. 

 

Le fait de passer du point $A$ au point $B$ par la translation de vecteur $overrightarrow{AB}$ revient à écrire que l’image de $A$ par la translation de vecteur $overrightarrow{AB}$ est $B$ : $t_{overrightarrow{AB}}(A) = B$.

De même, le point $C$ est transformé en point $D$ par la translation de vecteur $overrightarrow{AB}$ ce qui s’écrit $t_{overrightarrow{AB}}(C) = D$.

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Vecteurs égaux

 

Supposons que $overrightarrow{MN} = overrightarrow{AI}$.

Cela signifie que l’on passe du point $M$ au point $N$ par le même vecteur qui permet de passer de $A$ à $I$. 

On a alors l’équivalence suivante $overrightarrow{MN} = overrightarrow{AI} \iff MAIN $ est un parallélogramme. 

Comme $MAIN$ est un parallélogramme, on peut aussi écrire que $overrightarrow{AM} = overrightarrow{IN}$.

Enfin, il est courant de renommer un vecteur par une lettre, par exemple on pourra écrire $overrightarrow{MN} = overrightarrow{u}$. 

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Vecteurs colinéaires

Vecteurs colinéaires

 

Définition 

 

Soient $overrightarrow{u}$ et $overrightarrow{v}$ deux vecteurs différents de $overrightarrow{0}$,

$overrightarrow{u}$ et $overrightarrow{v}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel non nul $k$ tel que $overrightarrow{u} = k \times overrightarrow{v}$. 

 

Remarque

Deux droites peuvent être parallèles, les vecteurs eux peuvent être colinéaires. 

 

Exemples :

1)

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Dans ce cas, le lien unissant $overrightarrow{u}$ et $overrightarrow{v}$ est : $overrightarrow{u} = – overrightarrow{v}$, c’est à dire $k = -1$, ainsi $overrightarrow{u}$ et $overrightarrow{v}$ sont colinéaires. 

2)

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Dans ce second exemple, on remarque que $overrightarrow{v} = \dfrac{1}{2} overrightarrow{w}$ : $k = dfrac{1}{2}$, les deux vecteurs sont donc colinéaires. 

Pour déterminer la colinéarité de deux vecteurs, il est également possible d’utiliser les coordonnées de ces derniers si ils sont donnés ou calculables.

Par exemple, les vecteurs $overrightarrow{u} \left ( \begin{array}{c} 3 \ \dfrac{7}{2} \end{array} \right ) $ et $overrightarrow{v} \left ( \begin{array}{c} dfrac{-3}{4} \ – \dfrac{7}{8} \end{array} \right ) $ sont-ils colinéaires ?

Pour que ces deux vecteurs soient colinéaires, il faut que leurs coordonnées soient proportionnels entre eux avec le même coefficient de proportionnalité.

On compare donc les rapports suivants  :

$dfrac{frac{-3}{4}}{3}$ et $dfrac{-frac{7}{8}}{frac{7}{2}}$

c’est à dire le rapport de l’abscisse de$overrightarrow{v}$ par celle de $overrightarrow{u}$ puis le rapport de l’ordonnée de $overrightarrow{v}$ par celle de $overrightarrow{u}$.

Si le résultat est identique, les coordonnées sont proportionnelles et les vecteurs sont donc colinéaires. 

Ainsi :

$dfrac{frac{-3}{4}}{3} = dfrac{-3}{4times 3} = – dfrac{1}{4}$.

De même,

$dfrac{-frac{7}{8}}{frac{7}{2}} =- \dfrac{7}{8} \times \dfrac{2}{7} = – dfrac{1}{4}$. 

Le résultat des deux calculs étant identique, on en déduit que $overrightarrow{v} = – dfrac{1}{4} overrightarrow{u}$, les vecteurs sont colinéaires.

On pourra vérifier par exemple que l’abscisse de $overrightarrow{v}$ est égale au produit de $dfrac{-1}{4}$ et de celle de $overrightarrow{u}$.