MATHÉMATIQUES

Accède gratuitement à cette vidéo pendant 7 jours

Profite de ce cours et de tout le programme de ta classe
avec l'essai gratuit de 7 jours !

Démarrer l'essai gratuit


Coefficients binomiaux : $\binom{n}{k}$, $n \in \mathbf{N}$, $k \in \mathbf{N}$, $n\geq k$

 

Définition

 

On rappelle la formule des coefficients binomiaux :

$\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ pour $0\leq k\leq n$.

 

Regardons quelques exemples à connaitre :

$\binom{n}{0} = \dfrac{n!}{0!(n)!}=1$

En effet par convention, $0!=1$

Le résultat  est cohérent car le coefficient binomial $\binom{n}{0}$ revient à dénombrer les parties à 0 élément d’un ensemble à n éléments. Il n’y a qu’un ensemble possible, c’est l’ensemble vide.

 

$\binom{n}{1} = \dfrac{n!}{1!(n-1)!}=n$

En effet, $1!=1$ et $n!=n\times (n-1)!$

Le résultat  est cohérent car le coefficient binomial $\binom{n}{1}$ revient à dénombrer les parties à 1 élément d’un ensemble à n éléments. Il n’y a donc que les singletons possibles et il y a n singletons : {1}, {2},…,{n}.

 

$\binom{n}{2} = \dfrac{n!}{2!(n-2)!}$

$\binom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)\times(n-2)!}{2\times (n-2)!}$

$\binom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}$

En effet, $2!=2\times 1=2$.

Cette formule n’est pas nécessairement à connaitre mais permet d’avancer plus vite dans certains exercices.

 

Proprié
Il reste 70% de cette fiche de cours à lire

Cette fiche de cours est réservée uniquement à nos abonnés. N'attends pas pour en profiter, abonne-toi sur lesbonsprofs.com. Tu pourras en plus accéder à l'intégralité des rappels de cours en vidéo ainsi qu'à des QCM et des exercices d'entraînement avec corrigé en texte et en vidéo.