MATHÉMATIQUES

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Factorisation d'un polynôme du troisième degré

 

Propriété

 

Soit $P$ un polynôme du troisième degré défini pour tout $x \in \mathbb{R}$ par $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ avec $a, b, c, d$ des réels ($a \neq 0$).

Si $x_0$ est une racine du polynôme ($P(x_0) = 0$) alors $P$ se factorise sous la forme suivante

$P(x) = (x - x_0)\times Q(x)$ avec $Q$ un polynôme du second degré.

 

Exemple 

Soit $P$ un polynôme du troisième degré défini par $P(x) = x^3 + 2x^2 + x - 4$. 

On cherche à écrire ce polynôme sous la forme $(x - x_0)\times Q(x)$ où $x_0$ est une racine évidente. 

On remarque ici que la somme des coefficients vaut $0$ : ($1 + 2 + 1 - 4 = 0$), ainsi $1$ est une racine évidente. 

On peut donc écrire $P

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