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BOOST MATHS - LOI DES GRANDS NOMBRES

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Loi faible des grands nombres

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Loi faible des grands nombres 

 

Théorème 


Pour une expérience donnée, dans un modèle défini par une loi de probabilités, les distributions des fréquences calculées sur un échantillon de taille $n$, se rapprochent de la loi de probabilité lorsque $n$ devient grand. 

 

Exemple : 

On simule une expérience consistant à lancer 100 fois une pièce non truquée. On compte le nombre d'apparition du côté face et on le note $N$. 

On divise alors le résultat par 100 et on obtient $f = \dfrac{N}{100}$ à savoir la fréquence d'apparition du côté face. 

La taille de l'échantillon (100 lancers) est suffisamment grande. Intuitivement et d'après le théorème précédent, la fréquence d'apparition du côté face, la pièce n'étant pas truquée, sera voisine de $0,5$.

Autrement dit, la fréquence se rapproche de la probabilité théorique. 

 

Autre exemple

Si on lance à présent 5 fois la pièce, on peut obtenir une fréquence d'apparition du côté face de 0, c'est à dire 5 fois le côté face.

Cette fréquence est alors très éloignée de la probabilité théorique (qui vaut 0,5). 

La proximité entre la fréquence observée et la probabilité théorique est d'autant meilleure que la taille de l'échantillon augmente.