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STAGE - ÉQUATION CARTÉSIENNE DE CERCLE

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Reconnaitre une équation de cercle, déterminer centre et rayon

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Reconnaitre une équation de cercle, Déterminer centre et rayon

 

I) Les deux formes d'équation de cercle 

 

1) Forme centre rayon

Soit $\mathcal{C}$ un cercle de centre $A(x_A;y_A)$ et de rayon $R$,

Soit $M(x; y)$ un point du plan,

$M$ appartient au cercle si et seulement si il est équidistant du centre.

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Ainsi, $M \in \mathcal{C} \iff AM = R \iff {AM}^2 = R^2$. 

 

Calculons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AM}$ :

$\overrightarrow{AM} \left ( \begin{array}{c} x - x_A \\ y - y_A \end{array} \right )$

Ainsi, $AM = \sqrt{(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2}$ et donc ${AM}^2 = (x - x_A)^2 + (y - y_A)^2$.

En remplaçant dans l'équivalence initiale, on obtient :


$M \in \mathcal{C} \iff (x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = R^2$

 

Formule :

L'équation cartésienne du cercle centré en $A(x_A; y_A)$ de rayon $R$ est donnée par $(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = R^2$. 

 

Exemple :

On demande pour chaque équation de donner le centre et le rayon du cercle associé.

1) $(x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 9$. 

On réécrit alors cette équation pour retrouver la formule précédente :

$(x - 4)^2 + (y - (-1))^2 = 3^2$.

Ainsi, il s'agit d'un cercle de centre $A(4; -1)$ et de rayon $3$. 

 

2) $(x + 3)^2 + (y + 6)^2 = 5$. 

De même, on réécrit cette équation.

$(x - (-3))^2 + (y - (-6))^2 = (\sqrt{5})^2$. 

Finalement, il s'agit d'un cercle de centre $B(-3; -6)$ et de rayon $\sqrt{5}$. 

 

2) Formule développée 

Il s'agit du développement de la formule précédente à l'aide des formules des identités remarquables.

 

Exemple : On donne la formule développée des équations de cercle précédentes.

$(x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 9 \iff x^2 - 8x + 16 + y^2 +2y + 1 = 9 \iff  x^2 + y^2 -8x + 2y + 8 = 0$

$(x + 3)^2 + (y + 6)^2 = 5 \iff  x^2 + 6x + 9 + y^2 + 12y + 36 = 5\iff x^2 + y^2 + 6x + 12y+ 40 = 0 $

 

II) Application

 

Dans chacun des cas, on donne la forme développée et on cherche à la transformer en la forme centre rayon $(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = R^2$ afin de lire directement les coordonnées du centre et la valeur du rayon.

 

1) On donne l'équation suivante : $x^2 + y^2 -2x + 4y = 20$

Il s'agit alors de regrouper les termes faisant apparaitre la variable $x$ et les termes faisant apparaitre la variable $y$ puis de reconnaître le début d'une identité remarquable qu'il s'agira de compléter. 

$x^2 -2x + y^2 + 4y = 20$.

On sait que $(x - a)^2 = x^2 -2ax + a^2$.

Lorsque $a = 1$, on obtient $(x - 1)^2 = x^2 -2x + 1$.

Ainsi, on reconnait alors l'expression $x^2 - 2x$ qui peut alors s'exprimer sous la forme $x^2 -2x = (x - 1)^2 - 1$.

De même, $(y + b)^2 = y^2 +2by + b^2$

On cherche donc $b$ tel que $2by = 4y$ pour tout réel $y$ c'est à dire $b = 2$.

Ainsi, $y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4$.

Finalement l'équation initiale se réécrit : 

$(x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 =20$.

On regroupe alors les termes constants :

$(x -1)^2 + (y + 2)^2 = 25$.

Finalement, l'équation de cercle s'écrit : 

$(x - 1)^2 + (y - (-2))^2 = 5^2$.

Il s'agit donc d'un cercle de centre $(1; -2)$ et de rayon $5$.

 

2) On donne l'équation suivante : 

$x^2 + y^2 -2x + 4y + 14 = 0$.

On procède de la même manière. On regroupe donc les variables en $x$ et en $y$ séparément.

$x^2 - 2x + y^2 + 4y + 14 = 0$

On reconnait les mêmes identités remarquables que dans l'exemple précédent. 

On remplace alors directement : 
$(x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + 14 = 0$.

En regroupant les termes contants, on aboutit à : 

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = - 9$.

Or, cela signifie donc que $R^2 = -9$ ce qui n'est pas possible car un carré est toujours positif.

Ainsi, il ne s'agit pas de l'équation d'un cercle.

 

3) On donne l'équation suivante : 

$x^2 + y^2 + 4x + 2y + 5 = 0$.

On regroupe les termes faisant intervenir les mêmes variables.

$x^2 + 4x + y^2 + 2y + 5 = 0$.

On cherche ensuite à faire apparaitre des identités remarquables.

On sait aussi que $(x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$.

On cherche donc $a$ tel que $2ax = 4x$ pour tout réel $x$, soit $a = 2$.

Ainsi $x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4$.

De même, on cherche $b$ tel que $2b = 2$ c'est à dire $b = 1$.

Donc $y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1$.

On réécrit alors l'équation avec les identités remarquables :

$(x + 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 + 5 = 0$.

En regroupant les termes constants on trouve :

$(x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 0$.

En réécrivant cette équation pour trouver la forme du cours on a :

$(x - (-2))^2 + (y - (-1))^2 = 0$.

Il s'agit donc d'un cercle de centre $(-2; -1)$ et de rayon $0$.

En somme, l'ensemble des points $(x; y)$ vérifiant l'équation $x^2 + y^2 + 4x + 2y + 5 = 0$ est le point de coordonnées $(-2; -1)$.

 

4) On donne enfin l'équation suivante :

$x^2 +y^2 + x =0$ que l'on réécrit $x^2 + x + y^2 = 0$. 

Comme précédemment, on cherche $a$ tel que $2ax = x$ pour tout réel $x$, ce qui revient à dire que $a = \dfrac{1}{2}$. 

Ainsi, $\left ( x + \dfrac{1}{2} \right)^2 - \dfrac{1}{4} = x^2 + x$.

L'équation de cercle s'écrit donc :

$\left ( x + \dfrac{1}{2} \right)^2 - \dfrac{1}{4} + y^2 = 0$ ou encore

$\left ( x - \left(-\dfrac{1}{2}\right) \right)^2+ y^2 = \left(\dfrac{1}{2} \right)^2$.
Il s'agit donc d'un cercle de centre $\left (-\dfrac{1}{2}; 0 \right)$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$.