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FACTORISATION DE $X^N-1$ PAR $X-1$

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Factorisation de $x^n - 1$ par $(x - 1)$

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Factorisation de $x^n - 1$ par $(x - 1)$

 

Racine évidente

 

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$,

on définit pour tout $x \in \mathbb{R}$ le polynôme $P(x) = x^n - 1$.

Ce polynôme admet pour racine évidente $1$.

Ainsi, on peut factoriser ce polynôme et l'écrire sous la forme $P(x) = (x - 1) \times Q(x)$, avec $Q$ un polynôme de degré $n - 1$. 

On regarde pour les premières valeurs de $n$ la forme du polynôme $Q$.

 

Si $n = 2$, alors $P(x) = x^2 - 1$. 

On reconnait ici une identité remarquable. 

Ainsi, $P(x) = (x - 1)(x + 1)$, et $Q(x) = x + 1$. 

On remarque que les coefficients de $Q$ sont tous égaux à $1$. 

 

Si $n =3$, alors $P(x) = x^3 - 1$. 

Ainsi, $P$ se factorise sous la forme $P(x) = (x - 1)(ax^2 + bx + c)$. 

Pour trouver la valeur des coefficients $a, b, c$, on développe le polynôme puis on conclut sur leurs valeurs par l'égalité des coefficients. 

$P(x) = ax^3 + bx^2 + cx -ax^2 -bx - c = ax^3 + (b - a)x^2 + (c - b)x -c$

Ainsi, comme deux polynômes sont égaux si ils ont les mêmes coefficients, on a ainsi :

$a = 1$, $b - a = 0$, $c - b = 0$ et $-c= -1$.

Après résolution on trouve que $P(x) = (x - 1)(x^2 + x + 1)$. 

Les coefficients du polynôme $Q$ sont tous égaux à $1$.

 

Propriété

 

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$,

$x^n - 1 = (x - 1)(x^{n-1} + x^{n - 2} + ... + x+ 1)$.

On note que tous les coefficients du second polynôme sont égaux à $1$.

 

Preuve :

En effet, développons $(x - 1)(x^{n-1} + x^{n - 2} + ... + x + 1)$.

On a :

$(x - 1)(x^{n-1} + x^{n - 2} + ... + x + 1)= x^n + x^{n-1} + x^{n-2} + ... + x^2 + x - (x^{n-1} + x^{n - 2} + ... + x + 1)$.

On remarque alors que tous les termes de la somme s'annulent deux à deux sauf $x^n$ et $-1$, ainsi on a bien :

$x^n - 1 = (x - 1)(x^{n-1} + x^{n - 2} + ... + x + 1)$.

 

Exemple 

Si $n = 4$, $P(x) = x^4 - 1$.

D'après la propriété précédente, on a $P(x) = (x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1)$.