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STAGE - SUITES ARITHMÉTIQUES

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Comment montrer qu'une suite est arithmétique ?

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Comment montrer qu'une suite est arithmétique ?

 

La seule méthode pour montrer qu'une suite $(u_n)$ est arithmétique consiste à étudier la différence entre le terme $(n + 1)^{\text{ème}}$ de la suite et le $n^{\text{ème}}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ ou encore à étudier la différence : $u_{n + 1} - u_n$.

 

Si le résultat de cette différence est une constante, la suite est arithmétique, sinon elle ne l'est pas.

 

Considérons l'exemple suivant : $u_n = 3n - 8$ pour $n \in \mathbb{N}$.

On étudie donc :

$\begin{aligned}u_{n + 1} - u_n &=& 3(n + 1) - 8 - (3n - 8) \\ &=& 3n + 3 - 8  - 3n + 8 \\ &=& 3 \end{aligned}$ 

Ainsi, $u_{n + 1} - u_n = 3$, la différence est donc une constante donc $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $3$ et de premier terme $u_0 = 3\times 0 - 8 = -8$. 

 

Considérons à présent l'exemple suivant : $u_n = n^2 - 1$ pour $n \in \mathbb{N}$.

On étudie donc :


$\begin{aligned}u_{n + 1} - u_n &=& (n + 1)^2 - 1 - (n^2 - 1) \\ &=& n^2+2n+1-1-n^2+1 \\ &=& 2n+1 \end{aligned}$ 

Ainsi, $u_{n + 1} - u_n = 2n+1$, la différence n'est donc pas une constante puisque ce résultat dépend de $n$ donc $(u_n)$ n'est pas une suite arithmétique .