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STAGE - CALCULS SUR LES PARALLÈLES ET LES MÉRIDIENS

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Calculs sur les parallèles

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Calculs sur les parallèles

 

I. La longueur d’un parallèle

 

meridien2_1

 

Dans ce schéma, il y a un parallèle représenté en vert et l’équateur représenté en orange. L’angle alpha se retrouve à deux endroits car on a des angles alternes-internes. Alpha étant la latitude.

Un parallèle est un cercle imaginaire. Sa longueur est donc la circonférence du cercle, dont la formule générale à connaître est : $l = 2\pi r$, avec $r$ le rayon.

Le rayon n’est pas le même pour le parallèle et pour l’équateur, étant donné la forme sphérique de la Terre. On cherche à exprimer ce rayon, donc la distance : $O’M$. On a $2\times \pi \times O’M$ avec $O’M$ exprimé en fonction des autres grandeurs sur le schéma.

Le triangle $OO’M$ est rectangle en $O’$ et on peut donc dire que dans ce triangle, le cosinus de alpha est égal à :

$\dfrac{côté \ adjacent}{hypothénuse}=\dfrac{O’M}{OM}$.

On peut en déduire la longueur $O’M$, le rayon du parallèle. Donc : $O’M = OM\times cos(\alpha)$.

On introduit cette notion dans l’équation de la longueur du parallèle : $l = 2\times \pi \times R_T\times cos(\alpha)$.

On a alors l’expression pour laquelle on va pouvoir faire une application numérique. Par exemple, si on a 60° de latitude Nord, alors : $l = 2\pi\times 6 \ 380\times cos(60) = 20 \ 033 \ km.$

 

II. Calcul de la longueur d’un arc de parallèle

 

On considère deux points situés sur un même parallèle, de longitude respective 60° Ouest et 10° Ouest. On a schématisé la situation avec le parallèle et les deux points considérés sont $M’$ et $N’.$

 

meridien-calcul

 

On a représenté l’équateur avec les projetés de $N’$ et $M’$ sur l’équateur ce qui donne les points $N$ et $M.$ Par définition, une longitude c’est l’angle, par exemple $\widehat{MOG}$ pour le point $M$ et l'angle $\widehat{NOG}$ pour le point $N.$

D’après le schéma, on voit que les angles $\widehat{MOG}$ et $\widehat{M’O’G’}$ sont les mêmes. De même pour les angles $\widehat{N’O’G’} et \widehat{NOG}$. Donc, les longitudes s’écrivent : $\widehat{N’O’G’}$ pour $N’$ et $\widehat{M’O’G’}$ pour $M’.$

Donc, la différence entre ces deux longitudes donne l’angle $\widehat{N’O’M’}$. C’est l’angle qui va intercepter l’arc de cercle $N’M’.$ Cela est égal à la différence entre les deux longitudes données : $60-10 = 50°$.

Or la longueur d'un arc est proportionnelle à l’angle qui l’intercepte. On construit un tableau de proportionnalité avec l’angle et la longueur de l’arc :

 

Angle (°) $350$ $50$
Longueur de l'arc (m) $2 \pi \times O'M'$ l

 

Pour 360°, c’est-à-dire un tour complet, on a la circonférence du cercle c’est-à-dire $2\pi r$. Ici, $2\pi \times O’M’$. On va chercher la longueur de l’arc $N’M’$. On l’appelle $l$. L’angle qui intercepte l’arc est de 50°.

On résout ensuite le tableau de proportionnalité : $l = \dfrac{2\pi \times O’M’\times 50}{360}$.

On fera ensuite l’application numérique lorsque l’on aura des valeurs.