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STAGE : FRACTIONS ET NOMBRES DÉCIMAUX, ORDRE

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Ordre sur les nombres décimaux - Ordre sur les fractions

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Ordre sur les nombres décimaux et sur les fractions 

 

Définition :

Ordonner signifie classer les nombres du plus petit au plus grand, par ordre croissant ou du plus grand au plus petit par ordre décroissant. 

 

I) Ordre sur les nombres décimaux

 

Un nombre décimal est constitué d'une partie entière suivie d'une virgule et d'une partie décimale.

Il existe deux situations pour comparer deux nombres décimaux :

 

1) Les deux nombres ont deux parties entières différentes

Si les deux nombres ont deux parties entières différentes, on distingue trois cas.

a) Soit les deux nombres sont positifs, on regarde les parties entières des deux nombres et le nombre le plus grand est celui ayant la plus grande des deux.

Exemple :

Si on souhaite comparer $25,14$ et $27,6$, on regarde les parties entières des nombres.

La partie entière de $25,14$ vaut $25$ et celle de $27,6$ vaut $27$. Or $25 < 27$, donc $25,14 < 27,6$.

 

b) Soit un nombre est positif et l'autre est négatif, et ainsi, le nombre le plus grand est le nombre positif.

Exemple :

On souhaite comparer $-4,5$ et $3,2$.

Or $-4,5 < 0 $ et $3,2 > 0$.

Donc $3,2 > -4,5$.

 

c) Soit les deux nombres sont négatifs.

Dans ce cas, on regarde la distance à zéro des deux nombres et le plus grand est celui ayant la plus petite distance à zéro. 

Exemple :

On souhaite comparer $-6$ et $-3,5$.

La distance à zéro de $-6$ est $6$ et celle de $-3,5$ est $3,5$.

Or comme $6 > 3,5$ on a donc $-6 < -3,5$. 

 

2) Les deux nombres ont la même partie entière 

 

a) Si les deux nombres sont positifs, on compare leur partie décimale. Pour ce faire, on commence par comparer leurs chiffres des dixièmes. Si ils sont égaux, on compare leurs chiffrse des centièmes et ainsi de suite jusqu'à ce que leurs chiffres soient différents.

Le plus grand des deux nombres est celui qui a le plus grand des deux chiffres. 

Exemple : 
On compare ici $24,141$ et $24,149$.

Pour cela, on regarde leur partie décimale.

Leur chiffre des dixièmes vaut $1$ pour les deux nombres.

Leur chiffre des centièmes vaut $4$ pour les deux nombres.

Leur chiffre des millièmes est différent et vaut $1$ pour le premier et $9$ pour le second donc comme $1 < 9$ on a $24,141 < 24,149$.

b) Si les deux nombres sont négatifs, on regarde leur distance à zéro.

Comme leurs parties entières sont égales, on compare leur partie décimale, en regardant d'abord leur chiffre des dixièmes puis des centièmes si celui des dixièmes est égal.

On poursuit ce processus jusqu'à trouver des chiffres différents. Le plus grand des deux nombres est celui ayant le plus petit des deux chiffres. 

Exemple :

On veut comparer $-25,325$ et $-25,305$.

On calcule tout d'abord les distances à zéro des nombres.

Celle de $-25,325$ vaut $25,325$ et celle de $-25,305$ vaut $25,305$.

On compare ensuite leur parties décimales.

Ces deux nombres ont le même chiffre des dixièmes.

Néanmoins, le chiffre des centièmes est différent. Il vaut $2$ pour le premier nombre et $0$ par le deuxième.

Comme $2 > 0$ on a alors $-25,325 < -25,305$. 

 

II) Ordre sur les fractions 

 

Pour classer un ensemble de fractions, on applique la méthode suivante.

1) On commence par ordonner les fractions inférieures à 1, c'est à dire celles dont le numérateur est inférieur au dénominateur. 

2) Pour classer ces fractions, on les réduit au même dénominateur, puis on compare leurs numérateurs. 

3) On ordonne ensuite les fractions supérieurs à 1

4) On réunit enfin les deux résultats, en commençant par les fractions inférieures à 1 puis en terminant par les fractions supérieures à 1.

 

Exemple :

On souhaite classer les fractions suivantes : 

$\dfrac{13}{2}$, $\dfrac{4}{5}$, $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{7}{15}$, $\dfrac{13}{3}$

Les fractions inférieures à 1 sont $\dfrac{4}{5}$, $\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{7}{15}$.

Un dénominateur commun à ces fractions est $15$.

Ainsi,

$\dfrac{4}{5} = \dfrac{4 \times 3 }{5 \times 3} = \dfrac{12}{15}$.

De même,

$\dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 5 }{3 \times 5} = \dfrac{5}{15}$.

On compare donc leurs numérateurs.

$5 < 7 < 12$, donc $\dfrac{5}{15} < \dfrac{7}{15} < \dfrac{12}{15}$ que l'on réécrit en fonction des fractions initiales,

$\dfrac{1}{3} < \dfrac{7}{15} < \dfrac{4}{5}$. 

Les fractions supérieures à 1 sont $\dfrac{13}{2}$ et $\dfrac{13}{3}$.

Un dénominateur commun est 6.

Ainsi,

$\dfrac{13}{2} = \dfrac{13 \times 3}{2 \times 3} = \dfrac{39}{6}$.

De même,

$\dfrac{13}{3} = \dfrac{13 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{26}{6}$.

Or, $26 < 39$ donc $\dfrac{26}{6}< \dfrac{39}{6}$ que l'on réécrit en fonction des fractions initiales,

$\dfrac{13}{3} < \dfrac{13}{2}$.

 

Ainsi, en réunissant les deux résultats, on aboutit à :

$\dfrac{1}{3} < \dfrac{7}{15} < \dfrac{4}{5} < \dfrac{13}{3} < \dfrac{13}{2}$.