RAISONNEMENT MATHÉMATIQUE

Réciproque et contraposée

Définition : propriété mathématique

Une propriété en mathématiques se présente sous la forme "SI ..... ALORS ....".

Par exemple, si $ABCD$ est un carré, alors il a 4 angles droits. 

"$ABCD$ est un carré" est la condition, notée $P$.

"il a 4 angles droits" est la conclusion, notée $Q$. 

On notera alors $P \Rightarrow Q$.

Il s'agit d'une notation qui n'est pas exigible qui signifie que $P$ implique $Q$, ou encore "si $P$ alors $Q$". 

Définition de la réciproque d'une propriété

On obtient la réciproque d'une propriété en inversant la condition et la conclusion.

Une réciproque peut être vraie ou fausse. 

Exemple

En reprenant l'exemple précédent, la réciproque est :

Si un quadrilatère a 4 angles droits, alors c'est un carré.

On remarquera que l'on n'a pas uniquement réécrit l'énoncé inverse, mais que l'on a précisé dans la condition le sujet de la réciproque. 

Cette réciproque est fausse. En effet, un rectangle a 4 angles droits mais n'est pas un carré. 

Remarques

Les réciproques du théorème de Thalès et de Pythagore sont vraies.

On notera alors $Q \Rightarrow P$ si la réciproque est vraie.

Définition de la contraposée d'une propriété :

Elle se construit en prenant la négation de la conclusion puis la négation de la  condition.

Une contraposée est toujours vraie.

Exemple

La contraposée de la première propriété est :  si un quadrilatère n'a pas 4 angles droits, alors ce n'est pas un carré. 

On notera alors $\text{non } Q \Rightarrow \text{non } P$.