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IMPLICATIONS ET ÉQUIVALENCES LOGIQUES

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Logique : implication et équivalence

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Logique - Implication et Equivalence

 

I. Implications

 

1) Implication

Une assertion est un énoncé mathématique sans ambiguïté susceptible de prendre l'une des valeurs logiques : Vrai ou Faux.

Exemple :

S'il pleut alors il y a des nuages.

 

Il y a trois assertions dans cette phrase.

On note $p$ l'assertion "il pleut", qui peut prendre les valeurs vrai ou faux.

On note $q$ l'assertion "il y a des nuages", qui peut prendre les valeurs vrai ou faux.

Enfin la troisième assertion est "Si $p$ alors $q$" qui se note mathématiquement $p \Rightarrow q$ et se lit $p$ implique $q$; qui peut prendre les valeurs vrai ou faux, et qui dépend des valeurs prises par $p$ et $q$. 

Cette troisième assertion peut se noter "il pleut" $\Rightarrow$ "il y a des nuages. 

Une autre façon de le dire est aussi : il ne pleut pas ou (alors) il y a des nuages : (non $p$) ou $q$. Cette assertion a les mêmes valeurs logiques que $p \Rightarrow q$. 

 

Remarque : l'implication $p \Rightarrow q$ peut être vraie sans que $q$ le soit. 

"Si je mesure 3m50 alors nous sommes en train de dormir". 

A l'évidence, le lecteur de cette phrase n'est pas en train de dormir, donc $q$ est faux. Pour autant, l'implication est vraie.

En effet, l'hypothèse de départ "Je mesure 3m50" est fausse et donc, l'implication est toujours vraie, quelque soit la conclusion de l'implication. 

Pour montrer qu'une implication est vraie, on supposera que $p$ est vraie et on montrera que $q$ l'est aussi sous l'hypothèse que $p$ l'est. 

 

Exemple : 

Soit $n \in \mathbb{N}$, on veut montrer que si $n$ est un multiple de $3$ alors $n^2$ est divisible par $9$. 

On note $p$ : "$n$ est un multiple de $3$" et $q$ : "$n^2$ est divisible par $9$". 

On suppose $p$ vraie, alors $n = 3m$ avec $m \in \mathbb{N}$. 

Ainsi, en élevant au carré, on a $n^2 = 9m^2$ donc $n^2$ est divisible par 9. 

 

2) Négation d'une implication non ($p \Rightarrow q$)

On peut se servir de la négation d'une implication pour montrer qu'une implication est fausse en montrant que sa négation est vraie.

 

Exemple : 

On dispose de l'assertion suivante :

Si $x > 0$ alors $x^2 > 1$. 

Cette implication est fausse.

Pour le montrer, on prouve que non($p \Rightarrow q$) est vraie c'est à dire (non $q$) et $p$. 

On choisit alors $x^2 = \dfrac{1}{4} \leq 1$ et $x = \dfrac{1}{2} > 0$.

A l'aide de ce contre exemple, on a montré que la négation de l'assertion initiale est vraie : l'assertion initiale est donc fausse. 

 

3) Contraposée : 

La contraposée de $p \Rightarrow q$ est (non $q$) $\Rightarrow$ (non $p$)

Exemple : 

L'implication est s'il pleut alors il y a des nuages.

La contraposée est donc si il n'y a pas de nuages alors il ne pleut pas.

L'implication et sa contraposée prennent les mêmes valeurs logiques.

 

Exemple :

Soit $n \in \mathbb{N}$, montrons que si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.

Pour cela, on raisonne par contraposition.

Si $n$ est impair, alors $n = 2m + 1$ avec $m \in \mathbb{N}$. 

Ainsi, $n^2 = 2(2m^2 + 2m) + 1$ donc $n^2$ est impair. 

 

4) Réciproque :

 

La réciproque de $p \Rightarrow q$ est $q \Rightarrow p$. 

Toutefois, on prendra garde au fait que ces deux assertions peuvent avoir des valeurs différentes. 

 

Exemple :

Soit $x \in \mathbb{R}$, si $x \geq 2$ alors $x^2 \geq 4$. Cette assertion est vraie. 

Cependant, l'assertion "si $x^2 \geq 4$ alors $x \geq 2$" qui est la réciproque de la précédente est fausse. 

En effet, si on choisit $x = -3$, on a bien $(-3)^2 = 9 \geq 4$ mais $-3 \leq 2$. 

 

5) Condition nécessaire et condition suffisante 

On reprend l'exemple initial: s'il pleut alors il y a des nuages.

On remarque qu'il suffit qu'il pleuve pour qu'il y ait des nuages mais qu'il est nécessaire qu'il y ait des nuages pour qu'il pleuve. 

Ainsi "il pleut" est la condition suffisante à la réalisation de $q$ et "il y a des nuages" est la condition nécessaire à la réalisation de $p$.

 

II. Equivalence logique 

 

L'équivalence logique entre deux assertions $p$ et $q$ se note $p \iff q$ et signifie $p \Rightarrow q$ et $q \Rightarrow p$ ou bien que $p$ et $q$ ont même valeur logique. 

On dira alors que $p$ et $q$ sont des conditions nécessaire et suffisante.

 

Exemple :

Soient $a$ et $b$ deux réels, montrons que $(a + b)^2 = a^2 + b^2 \iff (a = 0 $ ou $b = 0)$. 

$(a + b)^2 = a^2 + b^2 \iff a^2 + b^2 + 2ab = a^2 + b^2 \iff ab = 0 \iff a = 0$ ou $ b = 0$. 

Cependant, ce raisonnement par équivalence est rare et généralement, il faudra démontrer que $p$ implique $q$ puis que $q$ implique $p$.